Talaan ng Transformasyon ni Laplace Pormula Halimbawa & Katangian

Ang pagbabago ng Laplace ay isang paraan para sa paglutas ng mga ekwasyon ng diperensyal. Sa pamamagitan nito, ang ekwasyon ng diperensyal sa anyo ng dominyo ng oras ay unang inilipat sa ekwasyon ng alhebra sa anyo ng dominyo ng frekwensiya. Pagkatapos ng paglutas ng ekwasyon ng alhebra sa dominyo ng frekwensiya, ang resulta ay huli na inilipat pabalik sa anyo ng dominyo ng oras upang makamit ang pinakamahusay na solusyon ng ekwasyon ng diperensyal. Sa ibang salita, maaari nating sabihin na ang pagbabago ng Laplace ay wala kundi isang maikling paraan ng paglutas ng ekwasyon ng diperensyal.

Sa artikulong ito, ipag-uusapan namin ang mga pagbabago ng Laplace at kung paano ginagamit ito upang malutas ang mga ekwasyon ng diperensyal. Ito rin ay nagbibigay ng paraan upang bumuo ng punsiyong transfer para sa sistema ng input-output, ngunit hindi ito ipag-uusapan dito. Ito ang nagbibigay ng pangunahing gusali para sa kontrol ng inhinyeriya, gamit ang mga diagrama ng bloke, atbp.

Maraming uri ng pagbabago ang umiiral na, ngunit ang mga pagbabago ng Laplace at Fourier ang pinaka-kilala. Ang pagbabago ng Laplace ay karaniwang ginagamit upang simplipikarin ang isang ekwasyon ng diperensyal sa isang simple at solvable na problema ng alhebra. Kahit na ang alhebra ay naging medyo komplikado, mas madali ito pa ring lutasin kaysa sa paglutas ng ekwasyon ng diperensyal.

Talahanayan ng Pagbabago ng Laplace

May talahanayan palagi na magagamit ng inhinyero na naglalaman ng impormasyon tungkol sa mga pagbabago ng Laplace. Isang halimbawa ng Talahanayan ng Pagbabago ng Laplace ay ginawa sa ibaba. Makikilala natin ang pagbabago ng Laplace ng iba't ibang karaniwang mga punsiyon mula sa sumusunod na talahanayan .

Paglalarawan ng Pagbabago ng Laplace

Kapag natutunan ang pagbabago ng Laplace, mahalaga na maintindihan hindi lamang ang mga talahanayan – kundi pati na rin ang formula.

Upang maintindihan ang formula ng pagbabago ng Laplace: Una, hayaang f(t) ang punsiyon ng t, oras para sa lahat ng t ≥ 0

Pagkatapos, ang pagbabago ng Laplace ng f(t), F(s) ay maaaring mailarawan bilang

Bukod sa kung ang integral ay umiiral. Kung saan ang Operator ng Laplace, s = σ + jω; ay totoo o kompleks j = √(-1)

Kahinaan ng Metodong Pagbabago ng Laplace

Ang mga pagbabago ng Laplace ay maaari lamang gamitin upang malutas ang mga komplikadong ekwasyon ng diperensyal at tulad ng lahat ng mga mahusay na paraan, mayroon itong kahinaan, na hindi mukhang napakalaki. Ito ay, maaari kang gumamit ng paraang ito upang malutas ang mga ekwasyon ng diperensyal KASAMA ANG mga kilalang konstante. Kung wala kang ekwasyon na walang kilalang konstante, ang paraang ito ay walang silbi at kailangan mong hanapin ang ibang paraan.

Kasaysayan ng Mga Pagbabago ng Laplace

Ang pagbabago sa matematika ay tumutukoy sa pagkakapantay-pantay ng isang punsiyon sa isa pang punsiyon na maaaring hindi nasa parehong dominyo. Ang paraan ng pagbabago ay ginagamit sa mga problema na hindi maaaring lutasin direktamente. Ang pagbabago na ito ay ipinangalan kay mathematician at kilalang astronomer na si Pierre Simon Laplace na nakatira sa Pransiya.

Ginamit niya ang isang katulad na pagbabago sa kanyang mga dagdag sa teorya ng probabilidad. Naging popular ito pagkatapos ng Ikalawang Digmaang Pandaigdig. Ginawang popular ang pagbabago na ito ni Oliver Heaviside, isang Inglis na Inhinyerong Elektrikal. Iba pang kilalang siyentipiko tulad ni Niels Abel, Mathias Lerch, at Thomas Bromwich ay gumamit nito noong ika-19 siglo.

Ang buong kasaysayan ng mga Pagbabago ng Laplace ay maaaring ma-track ng kaunti pa sa nakaraan, mas partikular 1744. Ito ang panahon kung kailan ang isa pang great mathematician na si Leonhard Euler ay nag-research sa iba pang mga uri ng integrals. Hindi niya ipinagpatuloy ito ng malayo at iniwan ito. Isang admirador ni Euler na si Joseph Lagrange; gumawa ng ilang modipikasyon sa trabaho ni Euler at nagpatuloy ng mas malayo. Ang trabaho ni LaGrange ay nakakuha ng atensyon ni Laplace 38 taon pag