Talaan ng Transformasyon ng Laplace Pormula Halimbawa at Katangian

Ang pagbabago ni Laplace ay isang teknik para sa pagsagot ng mga ekwasyon ng diperensyal. Dito ang ekwasyon ng diperensyal sa anyo ng domain ng oras ay unang inilipat sa algebraic equation sa anyo ng domain ng frequency. Pagkatapos ng pagsagot ng algebraic equation sa domain ng frequency, ang resulta ay huli na inilipat sa anyo ng domain ng oras upang makamit ang pinakamahalagang solusyon ng ekwasyon ng diperensyal. Sa ibang salita, maaari itong masabing ang pagbabago ni Laplace ay wala kundi isang shortcut method para sa pagsagot ng ekwasyon ng diperensyal.

Sa artikulong ito, ipag-uusapan namin ang mga pagbabago ni Laplace at kung paano ginagamit ito para sa pagsagot ng mga ekwasyon ng diperensyal. Nagbibigay din sila ng paraan para bumuo ng transfer function para sa input-output system, ngunit hindi ito ipag-uusapin dito. Sila ang nagbibigay ng pangunahing building blocks para sa control engineering, gamit ang block diagrams, atbp.

Maraming uri ng pagbabago na umiiral na, ngunit ang Laplace transforms at Fourier transforms ang pinaka-kilala. Karaniwan ang pagbabago ni Laplace upang simplipikahin ang isang ekwasyon ng diperensyal sa isang simple at solvable na algebra problem. Kahit kapag naging konting komplikado ang algebra, mas madali ito na sagutin kaysa sa pagsagot ng isang ekwasyon ng diperensyal.

Talaan ng Pagbabago ni Laplace

Mayroon palaging talaan na available sa engineer na may impormasyon tungkol sa mga pagbabago ni Laplace. Isang halimbawa ng talaan ng pagbabago ni Laplace ay ginawa sa ibaba. Malalaman natin ang pagbabago ni Laplace ng iba't ibang karaniwang mga function mula sa sumusunod na talaan.

Paglalarawan ng Pagbabago ni Laplace

Kapag natutunan ang pagbabago ni Laplace, mahalaga na maintindihan hindi lamang ang mga talaan – kundi pati na rin ang formula.

Upang maintindihan ang formula ng pagbabago ni Laplace: Una, hayaan ang f(t) na maging ang function ng t, oras para sa lahat ng t ≥ 0

Pagkatapos, ang Laplace transform ng f(t), F(s) ay maaaring mailarawan bilang

Bilang tugon na ang integral umiiral. Kung saan ang Laplace Operator, s = σ + jω; ay totoong o kompleks j = √(-1)

Mga Di-pabor na Katangian ng Pamamaraan ng Pagbabago ni Laplace

Ang mga pagbabago ni Laplace ay maaari lamang gamitin upang sagutin ang mga mahirap na ekwasyon ng diperensyal at tulad ng lahat ng magagandang pamamaraan, mayroon itong di-pabor na katangian, na maaaring hindi masyadong malaki. Ito ay, maaari kang gumamit ng pamamaraang ito upang sagutin ang mga ekwasyon ng diperensyal KASAMA ANG kilalang constants. Kung wala kang ekwasyon na walang kilalang constants, ang pamamaraang ito ay walang kabuluhan at kailangan mong hanapin ang ibang pamamaraan.

Kasaysayan ng Mga Pagbabago ni Laplace

Ang transformation sa matematika ay may kaugnayan sa konwersyon ng isang function sa isa pa na maaaring hindi nasa parehong domain. Ang pamamaraan ng transform ay may aplikasyon sa mga problema na hindi maaaring lutasin direktang. Ang transform na ito ay ipinangalan kay mathematician at kilalang astronomer na si Pierre Simon Laplace na nakatira sa Pransiya.

Ginamit niya ang isang katulad na transform sa kanyang mga dagdag sa teorya ng probability. Naging popular ito pagkatapos ng World War Two. Ginawang popular ang transform na ito ni Oliver Heaviside, isang English Electrical Engineer. Iba pang kilalang mga siyentipiko tulad ni Niels Abel, Mathias Lerch, at Thomas Bromwich na ginamit ito noong ika-19 na siglo.

Ang buong kasaysayan ng Mga Pagbabago ni Laplace ay maaaring ma-trace pa ng konti sa nakaraan, mas tiyak na 1744. Ito ang panahon kung saan isang iba pang great mathematician na si Leonhard Euler ay nag-research tungkol sa iba pang mga uri ng integrals. Ngunit hindi ni Euler ito ipinursige ng malayo at iniwan. Isang admirador ni Euler na si Joseph Lagrange; gumawa ng ilang pagbabago sa trabaho ni Euler at nagpatuloy sa mas marami pang trabaho. Ang trabaho ni LaGrange ay nakakuha ng atensyon ni Laplace 38 taon pagkatapos, noong 1782 kung saan nagpatuloy siyang magtrabaho kung saan iniwan ni Euler. Ngunit hindi hanggang 3 taon pagkatapos; noong 1785 kung saan may stroke of genius si Laplace at binago ang para