Laplace-Transformationstabelle Formeln Beispiele und Eigenschaften

Die Laplace-Transformation ist eine Technik zur Lösung von Differentialgleichungen. Hier wird die Differentialgleichung in der Zeitdomäne zunächst in eine algebraische Gleichung in der Frequenzdomäne transformiert. Nachdem die algebraische Gleichung in der Frequenzdomäne gelöst wurde, wird das Ergebnis schließlich in die Zeitdomäne zurücktransformiert, um die endgültige Lösung der Differentialgleichung zu erzielen. Mit anderen Worten kann man sagen, dass die Laplace-Transformation nichts anderes als ein Abkürzungsweg zur Lösung von Differentialgleichungen ist.

In diesem Artikel werden wir Laplace-Transformationen und ihre Anwendung zur Lösung von Differentialgleichungen besprechen. Sie bieten auch eine Methode, um eine Übertragungsfunktion für ein Eingabe-Ausgabe-System zu erstellen, aber dies wird hier nicht diskutiert. Sie bilden die grundlegenden Bausteine für die Regelungstechnik, indem sie Blockdiagramme usw. verwenden.

Es existieren bereits viele Arten von Transformationen, aber die Laplace-Transformationen und Fourier-Transformationen sind die bekanntesten. Die Laplace-Transformation wird normalerweise verwendet, um eine Differentialgleichung in ein einfaches und lösbares algebraisches Problem zu vereinfachen. Auch wenn die Algebra etwas komplexer wird, ist es immer noch einfacher zu lösen als eine Differentialgleichung.

Laplace-Transformationstabelle

Es gibt stets eine Tabelle, die dem Ingenieur zur Verfügung steht und Informationen über Laplace-Transformationen enthält. Ein Beispiel für eine Laplace-Transformationstabelle ist unten dargestellt. Wir werden aus der folgenden Tabelle erfahren, wie die Laplace-Transformationen verschiedener gängiger Funktionen aussehen.

Definition der Laplace-Transformation

Wenn man die Laplace-Transformation lernt, ist es wichtig, nicht nur die Tabellen zu verstehen, sondern auch die Formel.

Um die Formel der Laplace-Transformation zu verstehen: Zuerst sei f(t) die Funktion von t, Zeit für alle t ≥ 0

Dann kann die Laplace-Transformation von f(t), F(s), definiert werden als

Vorausgesetzt, dass das Integral existiert. Wo der Laplace-Operator, s = σ + jω; reell oder komplex sein wird, j = √(-1)

Nachteile der Laplace-Transformationsmethode

Laplace-Transformationen können nur zum Lösen komplexer Differentialgleichungen verwendet werden, und wie bei allen großartigen Methoden hat auch diese einen Nachteil, der jedoch nicht so groß erscheinen mag. Das heißt, man kann diese Methode nur verwenden, um Differentialgleichungen mit bekannten Konstanten zu lösen. Wenn Sie eine Gleichung ohne bekannte Konstanten haben, dann ist diese Methode nutzlos und Sie müssen eine andere Methode finden.

Geschichte der Laplace-Transformationen

Transformation in der Mathematik befasst sich mit der Umwandlung einer Funktion in eine andere Funktion, die möglicherweise nicht im gleichen Bereich liegt. Die Transformationsmethode findet Anwendung bei Problemen, die nicht direkt gelöst werden können. Diese Transformation ist nach dem Mathematiker und berühmten Astronomen Pierre Simon Laplace benannt, der in Frankreich lebte.

Er verwendete eine ähnliche Transformation in seinen Ergänzungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie wurde nach dem Zweiten Weltkrieg populär. Diese Transformation wurde durch Oliver Heaviside, einen englischen Elektroingenieur, populär gemacht. Andere berühmte Wissenschaftler wie Niels Abel, Mathias Lerch und Thomas Bromwich verwendeten sie im 19. Jahrhundert.

Die vollständige Geschichte der Laplace-Transformationen lässt sich etwas weiter in die Vergangenheit zurückverfolgen, genauer gesagt bis 1744. Dies war die Zeit, als ein weiterer großer Mathematiker namens Leonhard Euler an anderen Arten von Integralen forschte. Euler verfolgte seine Arbeit jedoch nicht sehr weit und ließ sie fallen. Ein Bewunderer von Euler, Joseph Lagrange, machte einige Änderungen an Eulers Arbeit und setzte sie fort. Lagranges Arbeit erregte 38 Jahre später, im Jahr 1782, Laplaces Aufmerksamkeit, wo er fortfuhr, dort aufzuhören, wo Euler aufgehört hatte. Doch es waren nicht drei Jahre später, im Jahr 1785, wo Laplace einen Geistesblitz hatte und die Art und Weise, wie wir Differentialgleichungen lösen, für immer veränderte. Er arbeitete weiter daran und entdeckte kontinuierlich die wahre Macht der Laplace-Transformation, bis 1809, wo er begann, Unendlichkeit als Integrationsbedingung zu verwenden.

Methode der Laplace-Transformation

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