جدول تحويل لابلاس، الصيغة، الأمثلة والخصائص

تحويل لابلاس هو تقنية لحل المعادلات التفاضلية. هنا يتم تحويل معادلة التفاضل في مجال الزمن أولاً إلى معادلة جبرية في مجال التردد. بعد حل المعادلة الجبرية في مجال التردد، يتم تحويل النتيجة أخيراً إلى شكل زمني لتحقيق الحل النهائي للمعادلة التفاضلية. بعبارة أخرى يمكن القول أن تحويل لابلاس لا يعدو كونه طريقة مختصرة لحل المعادلة التفاضلية.

في هذا المقال، سنناقش تحويلات لابلاس وكيفية استخدامها لحل المعادلات التفاضلية. كما توفر طريقة لتكوين دالة انتقال لنظام مدخل-مخرج، ولكن هذا لن يُناقش هنا. تقدم الأساسيات الأساسية للهندسة التحكم باستخدام الرسوم البيانية الكتلة وغيرها.

هناك العديد من أنواع التحويلات الموجودة بالفعل لكن تحويلات لابلاس وتحويلات فورييه هي الأكثر شهرة. عادة ما يتم استخدام تحويلات لابلاس لتبسيط المعادلة التفاضلية إلى مشكلة جبرية بسيطة وقابلة للحل. حتى عندما يصبح الجبر قليلاً معقدًا، فإنه لا يزال أسهل في الحل من حل المعادلة التفاضلية.

جدول تحويل لابلاس

هناك دائماً جدول متاح للمهندسين يحتوي على معلومات حول تحويلات لابلاس. تم إعداد مثال عن جدول تحويل لابلاس أدناه. سنتعرف على تحويل لابلاس لمختلف الدوال الشائعة من خلال الجدول التالي.

تعريف تحويل لابلاس

عند التعلم عن تحويل لابلاس، من المهم فهم ليس فقط الجداول - بل الصيغة أيضاً.

لفهم صيغة تحويل لابلاس: أولاً دعنا نفترض أن f(t) هي دالة الوقت t لكل t ≥ 0

ثم يمكن تعريف تحويل لابلاس لـ f(t)، F(s) كما يلي

على افتراض أن التكامل موجود. حيث يكون المشغل لابلاس، s = σ + jω؛ حقيقي أو مركب j = √(-1)

عيوب طريقة تحويل لابلاس

يمكن استخدام تحويلات لابلاس فقط لحل المعادلات التفاضلية المعقدة ومثل جميع الطرق العظيمة، فإن لها عيبًا قد لا يبدو كبيرًا. وهو أنه يمكنك استخدام هذه الطريقة لحل المعادلات التفاضلية ذات الثوابت المعروفة فقط. إذا كان لديك معادلة بدون الثوابت المعروفة، فإن هذه الطريقة غير مفيدة وستحتاج إلى البحث عن طريقة أخرى.

تاريخ تحويلات لابلاس

التحويل في الرياضيات يتعلق بتحويل دالة إلى دالة أخرى قد لا تكون في نفس المجال. تستخدم طريقة التحويل في تلك المشكلات التي لا يمكن حلها مباشرة. سميت هذه الطريقة باسم الرياضي والفلكي الشهير بيير سيمون لابلاس الذي عاش في فرنسا.

استخدم تحويلًا مشابهًا في إضافاته إلى نظرية الاحتمالات. أصبحت هذه الطريقة شائعة بعد الحرب العالمية الثانية. جعل هذا التحويل شائعًا المهندس الكهربائي الإنجليزي أوليفر هيفيسايد. استخدم العلماء الآخرون المشهورون مثل نيلز آبل وماثياس ليرش وتوماس برومويتش هذه الطريقة في القرن التاسع عشر.

يمكن تتبع تاريخ تحويلات لابلاس بشكل أكثر تفصيلاً إلى الماضي، وبشكل أكثر تحديدًا عام 1744. هذا هو الوقت الذي كان فيه رياضي عظيم آخر يدعى ليونارد أويلر يبحث في أنواع مختلفة من التكاملات. لم يستمر أويلر في ذلك كثيراً وتوقف. أحد المعجبين بأويلر يدعى جوزيف لاغرانج قام ببعض التعديلات على عمل أويلر وأجرى المزيد من العمل. لفت عمل لاغرانج انتباه لابلاس بعد 38 عاماً، في عام 1782 حيث واصل الاستمرار من حيث توقف أويلر. ولكن لم يكن الأمر إلا بعد 3 سنوات، في عام 1785 حيث أصاب لابلاس بفكرة عبقرية وتغير طريقة حل المعادلات التفاضلية إلى الأبد. واصل العمل عليها واكتشف قوة تحويل لابلاس الحقيقية حتى عام 1809، حيث بدأ في استخدام اللانهاية كشرط تكامل.

طريقة تحويل لابلاس

مكافأة