Laplace Dönüşüm Tablosu Formül Örnekler ve Özellikleri
Laplace dönüşümü, diferansiyel denklemleri çözmek için bir tekniktir. Burada, zaman domuzundaki diferansiyel denklem önce frekans domuzundaki cebirsel denkleme dönüştürülür. Frekans domuzundaki cebirsel denklem çözüldükten sonra, sonuç nihayetinde zaman domuzunda dönüştürülerek diferansiyel denklemin nihai çözümü elde edilir. Başka bir deyişle, Laplace dönüşümünün, diferansiyel denklemi çözmek için bir kısayol yönteminden başka bir şey olmadığını söyleyebiliriz.
Bu makalede, Laplace dönüşümlerini ve nasıl kullanıldığını, diferansiyel denklemleri çözmek için anlatacağız. Ayrıca, girdi-çıkış sistemleri için bir aktarım fonksiyonu oluşturmak için de bir yöntem sağlarlar, ancak bu burada ele alınmayacaktır. Kontrol mühendisliği için temel inşa etmekte, blok diyagramları kullanılarak vb. kullanılırlar.
Birçok tür dönüşüm zaten var ancak Laplace dönüşümleri ve Fourier dönüşümleri en çok bilinenleridir. Laplace dönüşümü genellikle bir diferansiyel denklemi basit ve çözülebilir bir cebir problemine dönüştürmek için kullanılır. Hatta cebir biraz karmaşık hale geldiğinde bile, bir diferansiyel denklemi çözmekten daha kolaydır.
Laplace Dönüşüm Tablosu
Mühendise her zaman Laplace dönüşümleri hakkında bilgi içeren bir tablo mevcuttur. Aşağıda bir Laplace dönüşüm tablosu örneği verilmiştir. Aşağıdaki tablodan çeşitli yaygın fonksiyonların Laplace dönüşümünü öğreneceğiz.
Laplace Dönüşüm Tanımı
Laplace dönüşümünü öğrenirken, sadece tabloları değil, formülü de anlamak önemlidir.
Laplace dönüşüm formülünü anlamak için: Öncelikle f(t)’nin t, tüm t ≥ 0 için zamanın fonksiyonu olduğunu varsayalım
O zaman f(t)’nin Laplace dönüşümü F(s) şu şekilde tanımlanabilir
İntegral var olduğu sürece. Burada Laplace Operatörü, s = σ + jω; gerçek veya kompleks olacak, j = √(-1)
Laplace Dönüşüm Yönteminin Dezavantajları
Laplace dönüşümleri sadece karmaşık diferansiyel denklemleri çözmek için kullanılabilir ve tüm büyük yöntemler gibi, bu yöntemin de bir dezavantajı vardır, bu dezavantaj pek çok kişiye göre o kadar büyük görünmemektedir. Yani, bu yöntemi kullanarak sadece bilinen sabitlerle diferansiyel denklemleri çözebilirsiniz. Eğer bilinmeyen sabitlerle bir denkleminiz varsa, bu yöntem işe yaramaz ve başka bir yöntem bulmanız gerekecektir.
Laplace Dönüşümlerinin Tarihi
Matematikteki dönüşüm, bir fonksiyonun başka bir fonksiyona dönüştürülmesiyle ilgilidir. Bu dönüşüm, doğrudan çözülemeyen problemlerde uygulanır. Bu dönüşüm, Fransa'da yaşamış matematikçi ve ünlü gökbilimci Pierre Simon Laplace adından alır.
Oliver Heaviside, İngiliz Elektrik Mühendisi, bu dönüşümü popülerleştirdi. Niels Abel, Mathias Lerch ve Thomas Bromwich gibi diğer ünlü bilim insanları da 19. yüzyılda onu kullandı.
Laplace Dönüşümlerinin tam tarihi biraz daha geriye doğru izlenebilir, daha spesifik olarak 1744 yılına kadar. Bu, Leonhard Euler adlı başka bir büyük matematikçi diğer tür integraller üzerinde araştırma yaparken. Euler bunu çok ileriye götürmedi ve bıraktı. Euler'ın takipçisi Joseph Lagrange, Euler'ın çalışmalarına bazı değişiklikler yaptı ve daha fazla çalışma yaptı. LaGrange'nin çalışması, 38 yıl sonra, 1782'de Laplace'ın dikkatini çekti ve oradan devam etti. Ancak 3 yıl sonra, 1785'te Laplace bir mucizeye sahip oldu ve diferansiyel denklemleri çözmeyi sonsuza dek değiştirdi. Sonsuzluğu integral koşulu olarak kullanmaya başladı.
