Laplace transformācijas tabula formules piemēri un īpašības

Laplace transformācija ir metode, ar kuru var atrisināt diferenciālvienādojumus. Šajā metodē laika apgabala formā esošais diferenciālvienādojums pirmkārt tiek pārveidots par algebrisku vienādojumu frekvenču apgabalā. Pēc tam, kad algebriskais vienādojums ir atrisināts frekvenču apgabalā, rezultāts tiek atkal pārveidots par laika apgabala formā, lai iegūtu galīgo diferenciālvienādojuma risinājumu. Citiem vārdiem sakot, Laplace transformācija ir tikai īssceļa metode, kā atrisināt diferenciālvienādojumus.

Šajā rakstā mēs apspriedīsim Laplace transformācijas un to, kā tās tiek izmantotas, lai atrisinātu diferenciālvienādojumus. Tās arī nodrošina metodi, kā veidot pārejas funkciju ievades-izvades sistēmai, bet šis jautājums šeit netiks apskatīts. Tās nodrošina pamatelementus kontroles inženierzinātnēm, izmantojot bloku diagrammas utt.

Jau eksistē daudz veidu transformācijām, bet Laplace un Furjē transformācijas ir vislabāk pazīstamās. Laplace transformācijas parasti tiek izmantotas, lai vienkāršotu diferenciālvienādojumu līdz vienkāršam un risinājamam algebras uzdevumam. Pat tad, kad algebras uzdevums kļūst mazliet sarežģīts, tas joprojām ir vieglāk risināms nekā diferenciālvienādojums.

Laplace transformācijas tabula

Inženierim vienmēr pieejama tabula, kas satur informāciju par Laplace transformācijām. Zemāk ir sniegta Laplace transformācijas tabulas piemēra. No šīs tabulas mēs iepazīsimies ar dažādu bieži sastopamo funkciju Laplace transformācijām.

Laplace transformācijas definīcija

Mācoties Laplace transformāciju, ir svarīgi saprast ne tikai tabulas, bet arī formulu.

Lai saprastu Laplace transformācijas formulu: Pirmais Pieņemsim, ka f(t) ir funkcija no t, laika visiem t ≥ 0

Tad Laplace transformācija f(t), F(s) var tikt definēta kā

Ja integrālis eksistē. Kur Laplace operatora, s = σ + jω; būs reāls vai komplekss, j = √(-1)

Laplace transformācijas metodes trūkumi

Laplace transformācijas var tikt izmantotas tikai, lai atrisinātu sarežģītus diferenciālvienādojumus, un, tāpat kā visas lieliskas metodes, tai ir arī trūkumi, kas var nebūt tik lieli. Tas nozīmē, ka šo metodi var izmantot tikai, lai atrisinātu diferenciālvienādojumus ar zināmiem konstantiem. Ja jums ir vienādojums bez zināmiem konstantiem, tad šī metode nav noderīga, un jums būs jāmeklē cita metode.

Laplace transformācijas vēsture

Matemātikā transformācija saistīta ar vienas funkcijas pārveidošanu par citu funkciju, kas var nebūt tajā pašā apgabalā. Transformācijas metode tiek izmantota problēmu risināšanā, kuras nevar atrisināt tieši. Šī transformācija nosaukta matemātiķa un slavenā astronoma Pier Simon Laplasa vārdā, kurš dzīvoja Francijā.

Viņš izmantoja līdzīgu transformāciju savos papildinājumos varbūtības teorijai. Tā kļuva populāra pēc Otrā pasaules kara. Šo transformāciju popularizēja Anglijas elektrotehniska inženieris Oliver Heaviside. Citi slaveni zinātnieki, piemēram, Niels Abel, Matias Lerh un Tomas Bromvič, to izmantoja 19. gadsimtā.

Laplace transformāciju pilnīgu vēsturi var izsekot vēl tālāk pagātnē, konkrēti 1744. gadā. Tas bija, kad cits lielisks matemātiķis, Leonards Eilers, pētīja citas integrālu veidas. Eilers tomēr to neparādīja ļoti