लाप्लास रूपान्तर सारणी सूत्र उदाहरणहरू र गुणधर्महरु

लाप्लास रूपान्तरण अवकल समीकरणों को हल करने की एक तकनीक है। यहाँ पहले समय डोमेन में अवकल समीकरण को आवृत्ति डोमेन में बीजगणितीय समीकरण में रूपान्तरित किया जाता है। फिर आवृत्ति डोमेन में बीजगणितीय समीकरण को हल करने के बाद, परिणाम को अंत में समय डोमेन में रूपान्तरित किया जाता है ताकि अवकल समीकरण का अंतिम हल प्राप्त किया जा सके। दूसरे शब्दों में, यह कहा जा सकता है कि लाप्लास रूपान्तरण कुछ और नहीं बल्कि अवकल समीकरण को हल करने की एक छोटी विधि है।

इस लेख में, हम लाप्लास रूपान्तरण और उनके उपयोग पर चर्चा करेंगे, जिनका उपयोग अवकल समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। वे इनपुट-आउटपुट प्रणाली के लिए ट्रांसफर फंक्शन बनाने की एक विधि भी प्रदान करते हैं, लेकिन यह यहाँ चर्चा नहीं की जाएगी। वे नियंत्रण इंजीनियरिंग के लिए मूल निर्माण खंड प्रदान करते हैं, जैसे कि ब्लॉक आरेख आदि का उपयोग करते हैं।

कई प्रकार के रूपान्तरण पहले से मौजूद हैं, लेकिन लाप्लास रूपान्तरण और फूरियर रूपान्तरण सबसे अधिक जाने-पहचाने हैं। लाप्लास रूपान्तरण का आम तौर पर एक अवकल समीकरण को सरल और हल करने योग्य बीजगणितीय समस्या में बदलने के लिए उपयोग किया जाता है। भले ही बीजगणित कुछ जटिल हो, फिर भी इसे हल करना अवकल समीकरण को हल करने से आसान होता है।

लाप्लास रूपान्तरण तालिका

इंजीनियर के लिए हमेशा एक तालिका उपलब्ध होती है जिसमें लाप्लास रूपान्तरण के बारे में जानकारी होती है। नीचे लाप्लास रूपान्तरण तालिका का एक उदाहरण दिया गया है। निम्नलिखित तालिका से हम विभिन्न सामान्य फ़ंक्शनों के लाप्लास रूपान्तरण के बारे में जान सकेंगे।

लाप्लास रूपान्तरण की परिभाषा

लाप्लास रूपान्तरण सीखते समय, यह महत्वपूर्ण है कि आप केवल तालिकाओं को न समझें, बल्कि सूत्र भी समझें।

लाप्लास रूपान्तरण सूत्र को समझने के लिए: पहले f(t) को t, समय का फ़ंक्शन मानें, जहाँ t ≥ 0 के लिए सभी t के लिए

तब f(t) का लाप्लास रूपान्तरण, F(s) को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है

जहाँ लाप्लास ऑपरेटर, s = σ + jω; वास्तविक या जटिल होगा, j = √(-1)

लाप्लास रूपान्तरण विधि की नुकसान

लाप्लास रूपान्तरण का उपयोग केवल जटिल अवकल समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है और सभी महान विधियों की तरह, इसका एक नुकसान भी है, जो बहुत बड़ा नहीं लग सकता। यह है, आप केवल इस विधि का उपयोग ज्ञात स्थिरांक वाले अवकल समीकरणों को हल करने के लिए कर सकते हैं। यदि आपके पास ज्ञात स्थिरांकों के बिना एक समीकरण है, तो यह विधि अपयुक्त है और आपको दूसरी विधि ढूंढनी होगी।