جدول تبدیل لاپلاس فرمول مثالها و ویژگیها

تبدیل لاپلاس یک روش برای حل معادلات دیفرانسیل است. در این روش، ابتدا معادله دیفرانسیل در حوزه زمان به معادله جبری در حوزه فرکانس تبدیل می‌شود. پس از حل معادله جبری در حوزه فرکانس، نتیجه نهایتاً به حوزه زمان بازمی‌گردد تا راه‌حل نهایی معادله دیفرانسیل بدست آید. به عبارت دیگر می‌توان گفت که تبدیل لاپلاس همان روش مختصر حل معادله دیفرانسیل است.

در این مقاله، ما به بحث درباره تبدیلات لاپلاس و نحوه استفاده از آنها برای حل معادلات دیفرانسیل خواهیم پرداخت. آنها همچنین یک روش برای تشکیل تابع انتقال برای سیستم‌های ورودی-خروجی فراهم می‌کنند، اما این موضوع در اینجا مورد بحث قرار نخواهد گرفت. آنها بلوک‌های سازنده اصلی مهندسی کنترل را با استفاده از نمودارهای بلوکی و غیره فراهم می‌کنند.

تعداد زیادی از تبدیلات موجود است اما تبدیلات لاپلاس و تبدیلات فوریه مشهورترین آنها هستند. تبدیل لاپلاس معمولاً برای ساده‌سازی یک معادله دیفرانسیل به یک مسئله جبری ساده و قابل حل استفاده می‌شود. حتی وقتی جبر کمی پیچیده شود، همچنان آسان‌تر از حل یک معادله دیفرانسیل است.

جدول تبدیل لاپلاس

همواره یک جدول وجود دارد که به مهندس اطلاعاتی درباره تبدیلات لاپلاس ارائه می‌دهد. یک نمونه از جدول تبدیل لاپلاس در زیر آمده است. ما از طریق جدول زیر می‌توانیم تبدیل لاپلاس توابع مختلف را بدانیم.

تعریف تبدیل لاپلاس

وقتی که تبدیل لاپلاس را می‌آموزیم، مهم است که نه تنها جداول بلکه فرمول آن را نیز درک کنیم.

برای درک فرمول تبدیل لاپلاس: ابتدا f(t) را تابع t، زمان برای تمام t ≥ 0 در نظر بگیرید

سپس تبدیل لاپلاس f(t)، F(s) می‌تواند به صورت زیر تعریف شود

با این شرط که انتگرال وجود داشته باشد. جایی که عملگر لاپلاس، s = σ + jω؛ می‌تواند حقیقی یا مختلط باشد j = √(-1)

معایب روش تبدیل لاپلاس

تبدیلات لاپلاس فقط می‌توانند برای حل معادلات دیفرانسیل پیچیده استفاده شوند و مانند تمام روش‌های عالی، این روش نیز یک معیب دارد که ممکن است به نظر نیست خیلی بزرگ. یعنی، شما فقط می‌توانید این روش را برای حل معادلات دیفرانسیل با ثابت‌های شناخته شده استفاده کنید. اگر شما یک معادله بدون ثابت‌های شناخته شده داشته باشید، این روش بی‌استفاده است و باید روش دیگری پیدا کنید.

تاریخچه تبدیلات لاپلاس

تبدیل در ریاضیات با تبدیل یک تابع به تابع دیگری که ممکن است در همان حوزه نباشد، سروکار دارد. روش تبدیل در آن مسائل کاربرد دارد که مستقیماً قابل حل نیستند. این تبدیل به نام ریاضیدان و ستاره‌شناس مشهور پیر سیمون لاپلاس که در فرانسه زندگی می‌کرد، نامگذاری شده است.

او یک تبدیل مشابه در اضافات خود به نظریه احتمال استفاده کرد. این تبدیل پس از جنگ جهانی دوم محبوب شد. این تبدیل توسط الیور هیویساید، یک مهندس برق انگلیسی، محبوب شد. دانشمندان مشهور دیگری مانند نیلس آبل، ماتیاس لرش و توماس برومویچ در قرن ۱۹ از آن استفاده کردند.