Laplace-transzformációs táblázat képlet példák és tulajdonságok

A Laplace-transzformáció egy differenciálegyenletek megoldására szolgáló módszer. Itt az időtartománybeli differenciálegyenletet először algebrai egyenletté alakítjuk át a frekvenciatartományban. A frekvenciatartományban lévő algebrai egyenlet megoldása után az eredményt végül visszaalakítjuk az időtartományba, hogy elérjük a differenciálegyenlet végső megoldását. Más szavakkal, a Laplace-transzformáció valójában csak egy gyors út a differenciálegyenletek megoldásához.

Ebben a cikkben a Laplace-transzformációval és annak használatával kapcsolatosan foglalkozunk, hogyan oldhatók meg a differenciálegyenletek. Ezen felül biztosítanak módszert a bemenet-kimeneti rendszerek átviteli függvényének meghatározására, de ezt itt nem tárgyaljuk. Ők a vezérlési mérnöki alapvető építőkövei, blokkdiagramok stb. használatával.

Már léteznek különböző transzformációk, de a Laplace-transzformációk és a Fourier-transzformációk a legismertebbek. A Laplace-transzformáció általában egyszerűsíti a differenciálegyenletet, így algebrai problémává válik. Még akkor is, ha az algebra kissé összetett, továbbra is könnyebb megoldani, mint egy differenciálegyenletet.

Laplace-transzformációs táblázat

Az Laplace-transzformációs táblázat mindig elérhető az mérnök számára, amely információkat tartalmaz a Laplace-transzformációkról. Az alábbi táblázat példát mutat a Laplace-transzformációs táblázatra. A következő táblázatból megtudhatjuk a különböző gyakori függvények Laplace-transzformáltjait.

Laplace-transzformáció definíciója

Amikor megtanuljuk a Laplace-transzformációt, fontos nem csak a táblázatokat, hanem a képletet is megérteni.

A Laplace-transzformáció képletének megértéséhez: Először tegyük, hogy f(t) az t, az idő függvénye minden t ≥ 0 esetén.

Ekkor f(t) Laplace-transzformáltja, F(s) a következőképpen definiálható:

Feltéve, hogy az integrál létezik. Ahol a Laplace-operátor, s = σ + jω; valós vagy komplex, j = √(-1)

A Laplace-transzformációs módszer hátrányai

A Laplace-transzformációk csak összetett differenciálegyenletek megoldására használhatók, és mint minden nagyszerű módszer, ennek is van hátránya, ami nem látszik olyan nagy. Azt jelenti, hogy csak ezzel a módszerrel lehet differenciálegyenleteket megoldani ISMERETT konstansokkal. Ha nincsenek ismert konstansok, akkor ez a módszer haszontalan, és más módszert kell találnia.

A Laplace-transzformációk története

A matematika transzformációi egy függvény átalakítását egy másik függvényre végezik, ami nem feltétlenül ugyanabban a tartományban van. A transzformációs módszer alkalmazása azon problémákra vonatkozik, amelyeket közvetlenül nem lehet megoldani. Ez a transzformáció a Pierre Simon Laplace nevű matematikus és híres csillagász után kapta nevét, aki Franciaországban élte életét.

Hasonló transzformációt használt a valószínűségszámításhoz adott hozzájárulásain. A II. világháborút követően népszerűvé vált. Oliver Heaviside, angol villamosmérnök tette ezt a transzformációt népszerűvé. Más híres tudósok, mint Niels Abel, Mathias Lerch és Thomas Bromwich használták a 19. században.

A Laplace-transzformáció teljes történetét még korábban, konkrétabban 1744-ben lehet nyomon követni. Ekkor egy másik híres matematikus, Leonhard Euler kutatott más típusú integrálokon. Euler azonban nem járta túl messze, és elhagyta. Euler egyik rajongója, Joseph Lagrange, módosításokat végzett Euler munkáján, és tov