Taula de la Transformada de Laplace, Fórmula, Exemples i Propietats
La transformada de Laplace és una tècnica per resoldre equacions diferencials. Aquí, l'equació diferencial en forma de domini temporal es transforma primer en una equació algebraica en forma de domini de freqüència. Després de resoldre l'equació algebraica en el domini de freqüència, el resultat es transforma finalment en la forma de domini temporal per aconseguir la solució final de l'equació diferencial. En altres paraules, es pot dir que la transformada de Laplace no és més que un mètode abreviat per resoldre equacions diferencials.
En aquest article, estudiarem les transformades de Laplace i com s'utilitzen per resoldre equacions diferencials. També proporcionen un mètode per formar una funció de transmissió per a un sistema d'entrada-sortida, però això no s'abordarà aquí. Proporcionen els elements bàsics per a l'enginyeria de control, utilitzant diagrames de blocs, etc.
Ja existeixen molts tipus de transformacions, però les transformades de Laplace i transformades de Fourier són les més conegudes. Les transformades de Laplace s'utilitzen normalment per simplificar una equació diferencial en un problema algebraic simple i resoluble. Encara que l'àlgebra es pugui complicar una mica, encara és més fàcil de resoldre que resoldre una equació diferencial.
Taula de transformada de Laplace
Sempre hi ha una taula disponible per a l'enginyer que conté informació sobre les transformades de Laplace. Un exemple de taula de transformada de Laplace s'ha fet a continuació. Conèixerem les transformades de Laplace de diverses funcions comunes a partir de la següent taula.
Definició de la transformada de Laplace
Quan s'estudia la transformada de Laplace, és important entendre no només les taules, sinó també la fórmula.
Per entendre la fórmula de la transformada de Laplace: Primer, sigui f(t) la funció de t, temps per a tot t ≥ 0
Llavors, la transformada de Laplace de f(t), F(s) es pot definir com
Suposant que l'integral existeixi. On l'operador de Laplace, s = σ + jω; serà real o complex j = √(-1)
Desavantatges del mètode de transformada de Laplace
Les transformades de Laplace només es poden utilitzar per resoldre equacions diferencials complexes i, com tots els grans mètodes, té un inconvenient, que pot no semblar tan gran. Això és, només es pot utilitzar aquest mètode per resoldre equacions diferencials AMB constants conegudes. Si teniu una equació sense constants conegudes, llavors aquest mètode és inútil i hauràs de trobar-ne un altre.
Història de les transformades de Laplace
La transformació en matemàtiques tracta amb la conversió d'una funció a una altra funció que pot no estar en el mateix domini. El mètode de transformació troba la seva aplicació en aquells problemes que no es poden resoldre directament. Aquesta transformació porta el nom del matemàtic i renombrat astrònom Pierre Simon Laplace, qui visqué a França.
Va utilitzar una transformació similar en les seves aportacions a la teoria de la probabilitat. Va esdevenir popular després de la Segona Guerra Mundial. Aquesta transformació va ser popularitzada per Oliver Heaviside, un enginyer elèctric anglès. Altres científics famosos com Niels Abel, Mathias Lerch i Thomas Bromwich la van utilitzar al segle XIX.
La història completa de les transformades de Laplace es pot seguir un poc més en el passat, més específicament el 1744. Això és quan un altre gran matemàtic anomenat Leonhard Euler estava investigant altres tipus d'integrals. Euler, però, no va continuar molt més endavant i va deixar-ho. Un admirador d'Euler anomenat Joseph Lagrange; va fer algunes modificacions al treball d'Euler i va continuar treballant. El treball de LaGrange va atraure l'atenció de Laplace 38 anys després, el 1782, on va continuar on va deixar Euler. Però no va ser fins a 3 anys després, el 1785, on Laplace va tenir un raig de geni i va canviar la manera de resoldre equacions diferencials per sempre. Va continuar treballant-hi i va continuar descobrint el veritable poder de la transformada de Laplace fins al 1809, on va començar a utilitzar l'infinit com a condició integral.
