Laplace-muunnos taulukko kaavat esimerkit ja ominaisuudet

Laplacen muunnos on menetelmä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi. Tässä ajan alueen differentiaaliyhtälö ensin muunnetaan taajuusalueen algebralliseksi yhtälöksi. Algebrallisen yhtälön ratkaisemisen jälkeen taajuusalueessa lopullinen vastaus saadaan muuttamalla yhtälö takaisin ajan alueeseen. Toisin sanoen Laplacen muunnos on vain nopea tapa ratkaista differentiaaliyhtälö.

Tässä artikkelissa keskustelemme Laplacen muunnoksista ja niiden käytöstä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Ne tarjoavat myös keinon muodostaa siirtymäfunktio syöttö-vastaus-järjestelmälle, mutta tätä ei käsitellä tässä. Ne tarjoavat perusrakennuspalikat ohjausinsinöörikkäävyykselle, käyttämällä lohkoja, jne.

Olemassa on monia erilaisia muunnoksia, mutta Laplacen muunnokset ja Fourier-muunnokset ovat tunnetuimpia. Laplacen muunnosta yleensä käytetään differentiaaliyhtälön yksinkertaistamiseen helposti ratkaistavaksi algebralliseksi ongelmaan. Vaikka algebrankin tuleekin hieman monimutkaiseksi, se on edelleen helpompaa ratkaista kuin differentiaaliyhtälö.

Laplacen muunnos taulukko

Insinöörillä on aina saatavillaan taulukko, joka sisältää tietoja Laplacen muunnoksista. Laplacen muunnos taulukko on esitetty alla. Tästä taulukosta saamme tietoa eri yleisten funktioiden Laplacen muunnoksista.

Laplacen muunnoksen määritelmä

Kun opit Laplacen muunnoksen, on tärkeää ymmärtää paitsi taulukot - myös kaava.

Ymmärtääksesi Laplacen muunnoksen kaavan: Olkoon f(t) ajan t funktio kaikilla t ≥ 0

Sitten f(t):n Laplacen muunnos F(s) voidaan määritellä

Olettaen, että integraali on olemassa. Missä Laplacen operaattori, s = σ + jω; on reaalinen tai kompleksinen, j = √(-1)

Laplacen muunnoksen menetelmän haitat

Laplacen muunnoksia voidaan käyttää vain monimutkaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, ja kuten kaikki hyvät menetelmät, sillä on haittapuoli, joka ei näytä niin suurelta. Se on, että voit käyttää tätä menetelmää vain differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, joissa on tunnettuja vakioita. Jos sinulla on yhtälö ilman tunnettuja vakioita, tämä menetelmä on tyhjä ja sinun täytyy löytää toinen menetelmä.

Laplacen muunnosten historia

Muunnos matematiikassa käsittelee funktion muuntamista toiseksi funktioksi, joka ei välttämättä ole samassa alueessa. Muunnosmenetelmä löytää sovelluksensa niihin ongelmiin, joita ei voi ratkaista suoraan. Tämä muunnos on nimetty matemaatikon ja tunnetun astronomin Pierre Simon Laplacen mukaan, joka asui Ranskassa.

Hän käytti samankaltaista muunnosta lisäyksiinsä todennäköisyysteoriaan. Se sai suosiota toisen maailmansodan jälkeen. Tämä muunnos teki suositultaan englantilainen sähköinsinööri Oliver Heaviside. Muita kuuluisia tieteisiä, kuten Niels Abel, Mathias Lerch ja Thomas Bromwich, käyttivät sitä 1900-luvulla.

Laplacen muunnosten koko historiaa voidaan seurata hieman pidemmälle, tarkemmin vuoteen 1744. Tämä on kun toinen suuri matemaatikko, Leonhard Euler, tutki muita integraalimuotoja. Euler ei kuitenkaan jatkanut asiaa kovin pitkälle ja jätti sen. Eulers ihailija, Joseph Lagrange, teki muutoksia Eulerin työhön ja jatkoi työtä. Lagrangen työ kiinnitti Laplacen huomion 38 vuotta myöhemmin, vuonna 1782, jolloin hän jatkoi siitä, mihin Euler jätti. Mutta vasta kolme vuotta myöhemmin, vuonna 1785, Laplace sai genialisen idean, joka muutti pysyvästi, miten ratkaisemme differentiaaliyhtälöitä. Hän jatkoi työtään ja jatkoi avaten Laplacen muunnoksen todellisen voiman vuoteen 1809 asti, jollo