Tabela de Transformada de Laplace Fórmula Exemplos e Propriedades

A transformada de Laplace é uma técnica para resolver equações diferenciais. Nesta técnica, a equação diferencial no domínio do tempo é primeiro transformada em uma equação algébrica no domínio da frequência. Após resolver a equação algébrica no domínio da frequência, o resultado é finalmente transformado de volta ao domínio do tempo para obter a solução final da equação diferencial. Em outras palavras, pode-se dizer que a transformada de Laplace é nada mais do que um método abreviado para resolver equações diferenciais.

Neste artigo, discutiremos as transformadas de Laplace e como elas são usadas para resolver equações diferenciais. Elas também fornecem um método para formar uma função de transferência para um sistema de entrada-saída, mas isso não será discutido aqui. Elas fornecem os blocos básicos para a engenharia de controle, usando diagramas de blocos, etc.

Muitos tipos de transformações já existem, mas as transformadas de Laplace e transformadas de Fourier são as mais conhecidas. A transformada de Laplace geralmente é usada para simplificar uma equação diferencial em um problema algébrico simples e solucionável. Mesmo quando a álgebra se torna um pouco complexa, ainda é mais fácil de resolver do que resolver uma equação diferencial.

Tabela de Transformada de Laplace

Sempre existe uma tabela disponível para o engenheiro que contém informações sobre as transformadas de Laplace. Um exemplo de tabela de transformada de Laplace foi feito abaixo. Vamos conhecer a transformada de Laplace de várias funções comuns a partir da tabela a seguir.

Definição da Transformada de Laplace

Ao aprender a transformada de Laplace, é importante entender não apenas as tabelas, mas também a fórmula.

Para entender a fórmula da transformada de Laplace: Primeiro, seja f(t) a função de t, tempo para todo t ≥ 0

Então, a transformada de Laplace de f(t), F(s), pode ser definida como

Providenciando que a integral exista. Onde o Operador de Laplace, s = σ + jω; será real ou complexo j = √(-1)

Desvantagens do Método da Transformada de Laplace

As transformadas de Laplace só podem ser usadas para resolver equações diferenciais complexas e, como todos os grandes métodos, têm uma desvantagem, que pode não parecer tão grande. Ou seja, você só pode usar este método para resolver equações diferenciais COM constantes conhecidas. Se você tiver uma equação sem as constantes conhecidas, então este método é inútil e você terá que encontrar outro método.

História das Transformadas de Laplace

A transformação em matemática lida com a conversão de uma função em outra função que pode não estar no mesmo domínio. O método de transformação encontra sua aplicação naqueles problemas que não podem ser resolvidos diretamente. Esta transformação leva o nome do matemático e renomado astrônomo Pierre Simon Laplace, que viveu na França.

Ele usou uma transformação similar em suas adições à teoria da probabilidade. Tornou-se popular após a Segunda Guerra Mundial. Esta transformação foi popularizada por Oliver Heaviside, um engenheiro elétrico inglês. Outros cientistas famosos, como Niels Abel, Mathias Lerch e Thomas Bromwich, a usaram no século XIX.

A história completa das transformadas de Laplace pode ser rastreada um pouco mais para o passado, mais especificamente em 1744. Foi quando outro grande matemático chamado Leonhard Euler estava pesquisando outros tipos de integrais. Euler, no entanto, não prosseguiu muito longe e abandonou. Um admirador de Euler chamado Joseph Lagrange; fez algumas modificações no trabalho de Euler e fez mais trabalho. O trabalho de LaGrange chamou a atenção de Laplace 38 anos depois, em 1782, onde ele continuou a partir de onde Euler parou. Mas foram três anos depois, em 1785, que Laplace teve um golpe de gênio e mudou a maneira como resolvemos equações diferenciais para sempre. Ele continuou a trabalhar nisso e continuou a desvendar o verdadeiro poder da transformada de Laplace até 1809, quando começou a usar o infinito como condição de integral.

Método da Transformada de Laplace