Tabulka Laplaceovy transformace, vzorec, příklady a vlastnosti

Laplaceova transformace je technika pro řešení diferenciálních rovnic. Zde je diferenciální rovnice v časové doméně nejprve převedena na algebraickou rovnici v frekvenční doméně. Po vyřešení algebraické rovnice v frekvenční doméně je výsledek nakonec převeden zpět do časové domény, aby bylo dosaženo konečného řešení diferenciální rovnice. Jinými slovy lze říci, že Laplaceova transformace není nic jiného než zkratka pro řešení diferenciálních rovnic.

V tomto článku se budeme zabývat Laplaceovými transformacemi a jejich použitím k řešení diferenciálních rovnic. Poskytují také metodu pro vytvoření přenosové funkce pro systém s vstupem a výstupem, ale toto zde nebudeme diskutovat. Poskytují základní stavební bloky pro inženýrství řízení, pomocí blokových diagramů atd.

Existuje mnoho druhů transformací, ale Laplaceovy transformace a Fourierovy transformace jsou nejznámější. Laplaceovy transformace se obvykle používají k zjednodušení diferenciální rovnice na jednoduchý a řešitelný algebraický problém. I když se algebra stane trochu komplikovanější, je stále snazší ji vyřešit než řešit diferenciální rovnici.

Laplaceova transformační tabulka

Inženýr má vždy k dispozici tabulku, která obsahuje informace o Laplaceových transformacích. Příklad Laplaceovy transformační tabulky je uveden níže. Z následující tabulky se dozvíme o Laplaceových transformacích různých běžných funkcí.

Definice Laplaceovy transformace

Při učení se Laplaceově transformaci je důležité pochopit nejen tabulky, ale i vzorec.

Chcete-li pochopit vzorec Laplaceovy transformace: Nejprve nechť f(t) bude funkce t, času pro všechna t ≥ 0

Potom Laplaceova transformace f(t), F(s) může být definována jako

Za předpokladu, že integrál existuje. Kde Laplaceův operátor, s = σ + jω; bude reálný nebo komplexní j = √(-1)

Nevýhody metody Laplaceovy transformace

Laplaceovy transformace lze použít pouze k řešení komplexních diferenciálních rovnic a jako všechny skvělé metody má i tato své nevýhody, které mohou nevypadat tak velké. A to, že můžete tuto metodu použít pouze k řešení diferenciálních rovnic S OZNÁMENÝMI KONSTANTAMI. Pokud máte rovnici bez známých konstant, pak je tato metoda nepoužitelná a musíte najít jinou metodu.

Historie Laplaceových transformací

Transformace v matematice se zabývá převodem jedné funkce na jinou funkci, která nemusí být ve stejném definičním oboru. Metoda transformace se uplatňuje v těch problémech, které nelze řešit přímo. Tato transformace je pojmenována po matematikovi a slavném astronomovi Pierre Simonu Laplaceovi, který žil ve Francii.

Použil podobnou transformaci v doplňcích ke teorii pravděpodobnosti. Stala se populární po Druhé světové válce. Tuto transformaci zpopularizoval Oliver Heaviside, anglický elektrotechnický inženýr. Další slavní vědci, jako Niels Abel, Mathias Lerch a Thomas Bromwich, ji používali v 19. století.

Celá historie Laplaceových transformací sahá až do roku 1744. To je, když další velký matematik jménem Leonhard Euler zkoumal jiné typy integrálů. Euler však tento směr nepronásledoval dál a odložil ho. Obdivovatel Eulera jménem Joseph Lagrange provedl některé úpravy Eulérova práce a pokračoval dále. Lagrangeova práce upoutala pozornost Laplacea 38 let poté, v roce 1782, kde pokračoval tam, kde Euler skončil. Bylo to však až 3 roky poté, v roce 1785, k