Tabel Transformasi Laplace Rumus Contoh & Sifat-sifat
Transformasi Laplace adalah teknik untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Di sini, persamaan diferensial dalam bentuk domain waktu pertama diubah menjadi persamaan aljabar dalam bentuk domain frekuensi. Setelah menyelesaikan persamaan aljabar dalam domain frekuensi, hasilnya kemudian diubah kembali ke bentuk domain waktu untuk mendapatkan solusi akhir dari persamaan diferensial. Dengan kata lain, transformasi Laplace hanyalah metode pintas untuk menyelesaikan persamaan diferensial.
Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang transformasi Laplace dan bagaimana mereka digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Mereka juga menyediakan metode untuk membentuk fungsi transfer untuk sistem input-output, tetapi hal ini tidak akan dibahas di sini. Mereka memberikan blok dasar untuk teknik kontrol, menggunakan diagram blok, dll.
Banyak jenis transformasi yang sudah ada, tetapi transformasi Laplace dan transformasi Fourier adalah yang paling dikenal. Transformasi Laplace biasanya digunakan untuk menyederhanakan persamaan diferensial menjadi masalah aljabar yang sederhana dan dapat diselesaikan. Bahkan ketika aljabar menjadi sedikit rumit, masih lebih mudah untuk diselesaikan daripada menyelesaikan persamaan diferensial.
Tabel Transformasi Laplace
Selalu ada tabel yang tersedia bagi insinyur yang berisi informasi tentang transformasi Laplace. Sebuah contoh tabel transformasi Laplace telah dibuat di bawah ini. Kita akan mengetahui tentang transformasi Laplace dari berbagai fungsi umum dari tabel berikut.
Definisi Transformasi Laplace
Ketika belajar tentang transformasi Laplace, penting untuk memahami bukan hanya tabelnya - tetapi juga rumusnya.
Untuk memahami rumus transformasi Laplace: Pertama, misalkan f(t) adalah fungsi dari t, waktu untuk semua t ≥ 0
Maka transformasi Laplace dari f(t), F(s) dapat didefinisikan sebagai
Dengan asumsi integral tersebut ada. Dimana Operator Laplace, s = σ + jω; akan bernilai real atau kompleks j = √(-1)
Kelemahan Metode Transformasi Laplace
Transformasi Laplace hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial kompleks dan seperti semua metode hebat, metode ini juga memiliki kelemahan, yang mungkin tidak tampak begitu besar. Yaitu, Anda hanya dapat menggunakan metode ini untuk menyelesaikan persamaan diferensial DENGAN konstanta yang diketahui. Jika Anda memiliki persamaan tanpa konstanta yang diketahui, maka metode ini tidak berguna dan Anda harus mencari metode lain.
Sejarah Transformasi Laplace
Transformasi dalam matematika berurusan dengan konversi satu fungsi ke fungsi lain yang mungkin tidak berada dalam domain yang sama. Metode transformasi ini diterapkan pada masalah-masalah yang tidak dapat diselesaikan secara langsung. Transformasi ini dinamai berdasarkan nama matematikawan dan astronom terkenal Pierre Simon Laplace yang tinggal di Prancis.
Dia menggunakan transformasi serupa pada penambahan teori probabilitasnya. Transformasi ini menjadi populer setelah Perang Dunia Kedua. Transformasi ini dipopulerkan oleh Oliver Heaviside, seorang Insinyur Elektro Inggris. Ilmuwan terkenal lainnya seperti Niels Abel, Mathias Lerch, dan Thomas Bromwich menggunakannya pada abad ke-19.
Sejarah lengkap Transformasi Laplace dapat ditelusuri sedikit lebih ke masa lalu, lebih spesifiknya pada tahun 1744. Saat itulah matematikawan hebat lainnya bernama Leonhard Euler sedang melakukan penelitian tentang jenis integral lainnya. Namun, Euler tidak melanjutkannya sangat jauh dan meninggalkannya. Pengagum Euler bernama Joseph Lagrange; membuat beberapa modifikasi pada pekerjaan Euler dan melakukan pekerjaan lebih lanjut. Pekerjaan LaGrange mendapat perhatian Laplace 38 tahun kemudian, pada tahun 1782, di mana dia melanjutkan dari tempat Euler berhenti. Tapi baru 3 tahun kemudian, pada tahun 1785, Laplace memiliki ide brilian dan mengubah cara kita menyelesaikan persamaan diferensial selamanya. Dia terus bekerja pada itu dan terus membuka kekuatan sebenarnya dari transformasi Laplace hingga tahun 1809, di mana dia mulai menggunakan tak terhingga sebagai kondisi integral.
