Tabela Laplaceove transformacije Formule Primeri Lastnosti

Laplaceova transformacija je tehnika za reševanje diferencialnih enačb. Tukaj je diferencialna enačba v časovnem domeni najprej pretvorjena v algebrsko enačbo v frekvenčni domeni. Po rešitvi algebrske enačbe v frekvenčni domeni je rezultat nato končno pretvorjen nazaj v časovno domeno, da se doseže končno rešitev diferencialne enačbe. Drugimi besedami, lahko rečemo, da je Laplaceova transformacija nič drugega kot hitra metoda za reševanje diferencialne enačbe.

V tem članku bomo obravnavali Laplaceove transformacije in kako so uporabljene za reševanje diferencialnih enačb. Priskrbijo tudi metodo za oblikovanje prenosne funkcije za sistem vhod-izhod, toda to tu ne bo obravnavano. Priskrbijo osnovne gradnike za kontrolno inženirstvo, z uporabo blokovnih diagramov itd.

Obstaja veliko vrst transformacij, toda Laplaceove transformacije in Fourierove transformacije sta najbolj znani. Laplaceove transformacije so običajno uporabljene za poenostavitev diferencialne enačbe v preprosto in rešljivo algebrsko nalogo. Čeprav postane algebra nekoliko zapletena, je še vedno lažje rešiti, kot reševati diferencialno enačbo.

Tabela Laplaceovih transformacij

Vedno obstaja tabela, ki je na voljo inženirju in vsebuje informacije o Laplaceovih transformacijah. Primer tabeli Laplaceovih transformacij je prikazan spodaj. Iz naslednje tabele bomo spoznali Laplaceove transformacije različnih pogostih funkcij.

Definicija Laplaceove transformacije

Pri učenju Laplaceove transformacije je pomembno razumeti ne le tabele – ampak tudi formulo.

Za razumevanje formule Laplaceove transformacije: Najprej naj bo f(t) funkcija t, časa za vsak t ≥ 0

Nato je Laplaceova transformacija f(t), F(s) definirana kot

Pod pogoji, da integral obstaja. Kjer je Laplaceov operator, s = σ + jω; realen ali kompleksen j = √(-1)

Nedogodki Laplaceove transformacijske metode

Laplaceove transformacije se lahko uporabljajo samo za reševanje kompleksnih diferencialnih enačb in kot vsaka odlična metoda ima tudi nedogodke, ki morda ne izgledajo tako veliki. To je, da lahko to metodo uporabite za reševanje diferencialnih enačb S POZNANIMI KONSTANTAMI. Če imate enačbo brez poznanih konstant, potem je ta metoda neučinkovita in boste morali najti drugo metodo.

Zgodovina Laplaceovih transformacij

Transformacija v matematiki se ukvarja s pretvorbo ene funkcije v drugo funkcijo, ki se morda ne nahaja v isti domeni. Metoda transformacije najde svojo uporabo v problemih, ki se ne morejo rešiti neposredno. Ta transformacija je poimenovana po matematiku in uglednem astronomu Pierre Simonu Laplaceu, ki je živel v Franciji.

Uporabil je podobno transformacijo na svoje dodatke k teoriji verjetnosti. Postala je priljubljena po drugi svetovni vojni. To transformacijo je populariziral Oliver Heaviside, angleški električni inženir. Drugi ugledni znanstveniki, kot so Niels Abel, Mathias Lerch in Thomas Bromwich, so jo uporabljali v 19. stoletju.

Celotna zgodovina Laplaceovih transformacij se lahko sledi malo bolj nazaj, točneje leta 1744. To je, ko je drugi velik matematik, imenovan Leonhard Euler, raziskoval druge vrste integralov. Euler je pa tega dela ni prepričljivo nadaljeval in ga je zapustil. Oboževalnik Eulera, imenovan Joseph Lagrange, je naredil nekatere spremembe na Eulerjevem delu in je nadaljeval z njim. Lagrangeovo delo je pritegnilo Laplaceovo pozornost 38 let kasneje, leta 1782, kjer je nadaljeval tam, kjer je Euler zapustil. Vendar je bilo le tri leta kasneje, leta 1785, ko je Laplace imel genialno zamisel in spremenil način, kako rešujemo diferencialne enačbe, navsezadnje. Nadaljeval je s svojim delom in odkrival resnično moč Laplaceove transformacije, dokler leta 1809 ni začel uporabljati neskončnosti kot integralnega pogoja