ตารางการแปลงลาปลาซ สูตร ตัวอย่าง และคุณสมบัติ

การแปลงลาปลาซ เป็นเทคนิคในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ที่นี่ สมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบของโดเมนเวลาจะถูกแปลงเป็นสมการพีชคณิตในรูปแบบของโดเมนความถี่ เมื่อแก้สมการพีชคณิตในโดเมนความถี่แล้ว ผลลัพธ์นั้นจะถูกแปลงกลับไปยังโดเมนเวลาเพื่อให้ได้คำตอบสุดท้ายของสมการเชิงอนุพันธ์ ในคำอื่น ๆ สามารถกล่าวได้ว่า การแปลงลาปลาซไม่ใช่อะไรนอกจากวิธีลัดในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

ในบทความนี้ เราจะหารือเกี่ยวกับการแปลงลาปลาซและวิธีที่ใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ นอกจากนี้ยังให้วิธีในการสร้างฟังก์ชันโอนผ่านสำหรับระบบอินพุต-เอาต์พุต แต่จะไม่ได้กล่าวถึงในที่นี้ พวกมันเป็นองค์ประกอบพื้นฐานสำหรับวิศวกรรมควบคุม โดยใช้แผนภาพบล็อก ฯลฯ

มีการแปลงหลายประเภทที่มีอยู่แล้ว แต่การแปลงลาปลาซและการแปลงฟูเรียร์เป็นที่รู้จักมากที่สุด การแปลงลาปลาซมักถูกใช้เพื่อย่นย่อสมการเชิงอนุพันธ์ให้กลายเป็นโจทย์พีชคณิตที่ง่ายและสามารถแก้ไขได้ แม้ว่าพีชคณิตอาจซับซ้อนเล็กน้อย แต่ยังคงง่ายกว่าการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

ตารางการแปลงลาปลาซ

มักจะมีตารางที่พร้อมใช้งานสำหรับวิศวกรที่มีข้อมูลเกี่ยวกับการแปลงลาปลาซ ตัวอย่างของ ตารางการแปลงลาปลาซ ได้ถูกสร้างขึ้นด้านล่าง เราจะได้ทราบเกี่ยวกับการแปลงลาปลาซของฟังก์ชันต่างๆ จากตารางดังกล่าว

บทนิยามของการแปลงลาปลาซ

เมื่อเรียนรู้การแปลงลาปลาซ สำคัญที่จะเข้าใจไม่เพียงแค่ตารางเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสูตรด้วย

เพื่อเข้าใจสูตรการแปลงลาปลาซ: ก่อนอื่นให้ f(t) เป็นฟังก์ชันของ t หรือเวลาสำหรับทุก t ≥ 0

จากนั้น การแปลงลาปลาซของ f(t), F(s) สามารถกำหนดได้ว่า

โดยที่ปริพันธ์นี้มีอยู่ ที่โอเปอร์เตอร์ลาปลาซ, s = σ + jω; จะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน j = √(-1)

ข้อเสียของการแปลงลาปลาซ

การแปลงลาปลาซสามารถใช้เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ซับซ้อนเท่านั้น และเช่นเดียวกับวิธีที่ยอดเยี่ยมทั้งหมด มันมีข้อเสีย ซึ่งอาจไม่ใหญ่โต นั่นคือ คุณสามารถใช้วิธีนี้เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีค่าคงที่ที่ทราบเท่านั้น หากคุณมีสมการที่ไม่มีค่าคงที่ที่ทราบ วิธีนี้จะไม่สามารถใช้งานได้และคุณจะต้องหาวิธีอื่น

ประวัติของการแปลงลาปลาซ

การแปลงในคณิตศาสตร์มีการแปลงฟังก์ชันหนึ่งไปเป็นฟังก์ชันอื่นที่อาจไม่อยู่ในโดเมนเดียวกัน การแปลงนี้ใช้ในการแก้ปัญหาที่ไม่สามารถแก้ได้โดยตรง วิธีการแปลงนี้ถูกตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชื่อดัง พิแอร์ ซิมง ลาปลาซ ซึ่งอาศัยอยู่ในฝรั่งเศส

เขาใช้การแปลงที่คล้ายคลึงกันในการเสริมทฤษฎีความน่าจะเป็นของเขา วิธีการแปลงนี้ได้รับความนิยมหลังสงครามโลกครั้งที่สอง วิธีการแปลงนี้ได้รับความนิยมจากโอลิเวอร์ เฮฟวิไซด์ วิศวกรไฟฟ้าชาวอังกฤษ นักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงอื่นๆ เช่น ไนลส์ เอบิล มาเธียส เลิร์ช และโทมัส บรอมวิช ใช้มันในศตวรรษที่ 19

ประวัติความเป็นมาของการแปลงลาปลาซสามารถติดตามย้อนหลังไปได้มากขึ้น กล่าวคือ ปี 1744 นี่คือตอนที่นักคณิตศาสตร์ช