Tableau de la Transformée de Laplace Formules Exemples & Propriétés

La transformation de Laplace est une technique pour résoudre des équations différentielles. Ici, l'équation différentielle sous forme temporelle est d'abord transformée en une équation algébrique sous forme fréquentielle. Après avoir résolu l'équation algébrique dans le domaine fréquentiel, le résultat est finalement transformé en forme temporelle pour obtenir la solution finale de l'équation différentielle. En d'autres termes, on peut dire que la transformation de Laplace n'est rien d'autre qu'une méthode abrégée de résolution d'équations différentielles.

Dans cet article, nous discuterons des transformations de Laplace et de la manière dont elles sont utilisées pour résoudre des équations différentielles. Elles fournissent également une méthode pour former une fonction de transfert pour un système entrée-sortie, mais cela ne sera pas discuté ici. Elles fournissent les éléments de base pour l'ingénierie de contrôle, en utilisant des diagrammes en bloc, etc.

De nombreuses transformations existent déjà, mais les transformations de Laplace et de Fourier sont les plus connues. Les transformations de Laplace sont généralement utilisées pour simplifier une équation différentielle en un problème d'algèbre simple et résoluble. Même lorsque l'algèbre devient un peu complexe, elle reste plus facile à résoudre que la résolution d'une équation différentielle.

Tableau de transformation de Laplace

Il y a toujours un tableau disponible pour l'ingénieur qui contient des informations sur les transformations de Laplace. Un exemple de tableau de transformation de Laplace a été fait ci-dessous. Nous allons connaître la transformation de Laplace de diverses fonctions courantes à partir du tableau suivant.

Définition de la transformation de Laplace

Lors de l'apprentissage de la transformation de Laplace, il est important de comprendre non seulement les tables, mais aussi la formule.

Pour comprendre la formule de transformation de Laplace : Soit f(t) la fonction de t, le temps pour tout t ≥ 0

Alors, la transformation de Laplace de f(t), F(s) peut être définie comme

À condition que l'intégrale existe. Où l'opérateur de Laplace, s = σ + jω ; sera réel ou complexe j = √(-1)

Inconvénients de la méthode de transformation de Laplace

Les transformations de Laplace ne peuvent être utilisées que pour résoudre des équations différentielles complexes, et comme toutes les grandes méthodes, elle a un inconvénient, qui peut ne pas sembler si grand. C'est que vous ne pouvez utiliser cette méthode que pour résoudre des équations différentielles AVEC des constantes connues. Si vous avez une équation sans les constantes connues, alors cette méthode est inutile et vous devrez trouver une autre méthode.

Histoire des transformations de Laplace

La transformation en mathématiques concerne la conversion d'une fonction à une autre fonction qui peut ne pas être dans le même domaine. La méthode de transformation trouve son application dans les problèmes qui ne peuvent pas être résolus directement. Cette transformation est nommée d'après le mathématicien et astronome renommé Pierre Simon Laplace qui vivait en France.

Il a utilisé une transformation similaire dans ses ajouts à la théorie des probabilités. Elle est devenue populaire après la Seconde Guerre mondiale. Cette transformation a été rendue populaire par Oliver Heaviside, un ingénieur électrique anglais. D'autres scientifiques célèbres tels que Niels Abel, Mathias Lerch et Thomas Bromwich l'ont utilisée au 19ème siècle.

L'histoire complète des transformations de Laplace peut être remontée un peu plus loin dans le passé, plus précisément en 1744. C'est quand un autre grand mathématicien appelé Leonhard Euler recherchait sur d'autres types d'intégrales. Euler cependant n'a pas poursuivi très loin et l'a laissée. Un admirateur d'Euler appelé Joseph Lagrange; a apporté quelques modifications aux travaux d'Euler et a continué à travailler. Le travail de LaGrange a attiré l'attention de Laplace 38 ans plus tard, en 1782 où il a repris là où Euler avait arrêté. Mais ce n'est que 3 ans plus tard, en 1785, que Laplace a eu un coup de génie et a changé la façon dont nous résolvons les équations différentielles à jamais. Il a continué à travailler dessus et a continué à dévoiler la véritable puissance de la transformation de Laplace jusqu'en 1809, où il a commencé à utiliser l'infini comme condition intégrale.

Méthode de transformation de Laplace