Laplace Aylantma Jadvali, Formula, Misollar va Xususiyatlari

Лаплас трансформацияси дифференциал теңламаларини ечиш учун ишлатиладиган усул. Бу жерда вақт доирасидаги дифференциал теңлама алгебралаштирилади ва фазо доирасидаги алгебралашган теңлама га айлантирилади. Фазо доирасида алгебралашган теңламани ечгандан сўнга, натижалар вақт доирасида кайтарилади ва дифференциал теңламанининг якуний ечиши олинади. Башкача қилиб айтганда, Лаплас трансформацияси дифференциал теңламаларини ечиш учун ишлатиладиган кыскарух усул.

Бу мақолада биз Лаплас трансформациясини ва унинг дифференциал теңламаларни ечишда қандай ишлатилишин барчаси билан муҳокама қиламиз. Алар инпут-аутпут системаси үчун трансфер функциясини шакллантириш усулин тақдим этади, аммо бу эрда бундан сўз йўк. Алар блок диаграммалар ва ҳокозоси ёрдамида контрол инженериясининг негизий тузилмаларин тақдим этади.

Кўп турли трансформациялар мавжуд, аммо Лаплас трансформацияси ва Фурье трансформацияси энг белгилидир. Лаплас трансформацияси дифференциал теңламанининг ечими қисқача ва ечимга олдинчи алгебралашган масалага айлантириш учун ишлатилади. Ажратма алгебра кўриниши кўпрак қатиётса, дифференциал теңламани ечишдан ҳам кўпроқ осон.

Лаплас трансформацияси таблицаси

Инженер үчун Лаплас трансформацияси ҳақидаги маълумотларни кутишга мумкин бўлган таблица бар. Лаплас трансформацияси таблицаси мисоли келтирилган. Бу таблицадан биз Лаплас трансформацияси ҳақидаги кўп кўриниши бор функцияларни билиб оламиз.

Лаплас трансформацияси дефиницияси

Лаплас трансформациясини ўрганганда, фақат таблицаларни тушунган бўлмасдан, формула хам маҳирувчи бўлиши керак.

Лаплас трансформацияси формуласини тушуниш учун: Аловихта f(t) - t вақт учун функция (t ≥ 0)

Келеси кабил, f(t) функциясининг Лаплас трансформацияси F(s) келет:

Агар интеграл mavjud bo'lsa. Бу жерда Лаплас оператори, s = σ + jω; haqiqiy yoki kompleks bo'lishi mumkin, j = √(-1)

Лаплас трансформацияси усулining камчилаби

Лаплас трансформацияси фазо доирасида кўпрак дифференциал теңламаларни ечишда ишлатилади. Барча замонавий усулларга охшаш, унинг камчилаби да бор. Бу усулни фақат белгиланган константалар бор дифференциал теңламаларни ечишда ишлатиш мумкин. Агар константалар белгиланмаган теңлама бошеда, бу усул ишлатилмайди ва башка усул керак.

Лаплас трансформацияси тарихи

Математикада трансформация бир функцияни башка доира доирасидаги башка функцияга айлантиришни анга кутади. Трансформация усули тез-тез давоми кечиктирмаларга ишлатилади. Бу трансформация Францияда яшоган математик ва астроном Пьер Симон Лаплас имёнингизда номланган.

У эхтимолийлик теориясига қўшимча қилганда схож трансформацияни ишлатди. Унинг популярлашувини Оливер Хевисайд, англис электр техникаси инженери, келиб чиктирган. Ниелс Абель, Матиас Лерх ва Томас Бромвич кабил алохидаги олимлар 19-асрда бундан фойдаланган.