Tablica Laplaceove transformacije Formula Primjeri i Svojstva

Laplaceova transformacija je tehnika za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Ovdje se diferencijalna jednadžba u vremenskom domenu prvo pretvara u algebarsku jednadžbu u frekventnom domenu. Nakon rješavanja algebarske jednadžbe u frekventnom domenu, rezultat se zatim konačno pretvara u vremenski domen kako bi se postiglo konačno rješenje diferencijalne jednadžbe. Drugim riječima, može se reći da Laplaceova transformacija ništa više nije nego skraćena metoda rješavanja diferencijalne jednadžbe.

U ovom članku razmatrat ćemo Laplaceove transformacije i kako se koriste za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. One također pružaju metodu za formiranje prijenosne funkcije za sustav s ulazom i izlazom, ali to neće biti raspravljano ovdje. Pružaju osnovne građene blokove za inženjerstvo upravljanja, koristeći dijagram blokova itd.

Postoji mnogo vrsta transformacija, ali Laplaceove transformacije i Fourierove transformacije su najpoznatije. Laplaceove transformacije obično se koriste za pojednostavljenje diferencijalne jednadžbe u jednostavni i rješiv algebarski problem. Čak i kada algebarski problem postane malo složeniji, ipak je lakše riješiti od rješavanja diferencijalne jednadžbe.

Laplaceova transformacijska tablica

Uvijek postoji tablica dostupna inženjeru koja sadrži informacije o Laplaceovim transformacijama. Primjer Laplaceove transformacijske tablice naveden je ispod. Slijedeća tablica nam daje Laplaceove transformacije različitih uobičajenih funkcija.

Definicija Laplaceove transformacije

Kada učimo Laplaceove transformacije, važno je razumjeti ne samo tablice, već i formulu.

Za razumijevanje formule Laplaceove transformacije: Neka f(t) bude funkcija t, vremena za sve t ≥ 0

Tada Laplaceova transformacija f(t), F(s) može se definirati kao

Pod uvjetom da integral postoji. Gdje Laplaceov operator, s = σ + jω; bit će realan ili kompleksan, j = √(-1)

Nedostaci metode Laplaceove transformacije

Laplaceove transformacije mogu se koristiti samo za rješavanje složenih diferencijalnih jednadžbi, i kao sve velike metode, imaju nedostatak, koji možda ne izgleda toliko velik. To jest, ovu metodu možete koristiti samo za rješavanje diferencijalnih jednadžbi SA poznatim konstantama. Ako imate jednadžbu bez poznatih konstanti, onda je ova metoda beskorisna i morat ćete pronaći drugu metodu.

Povijest Laplaceovih transformacija

Transformacija u matematici bavi se pretvorom jedne funkcije u drugu funkciju koja možda nije u istom domeni. Metoda transformacije primjenjuje se na probleme koji se ne mogu direktno riješiti. Ova transformacija nosi ime matematičara i slavnog astronoma Pierre Simona Laplacea koji je živio u Francuskoj.

On je koristio sličnu transformaciju na svoje doprinose teoriji vjerojatnosti. Postala je popularna nakon Drugog svjetskog rata. Ovu transformaciju proslavio je Oliver Heaviside, engleski elektroinženjer. Ostali slavni znanstvenici, poput Nielsa Abela, Mathiasa Lercha i Thomasa Bromwicha, koristili su je u 19. stoljeću.

Cijelu povijest Laplaceovih transformacija može se pratiti malo dalje u prošlost, točnije 1744. godine. Tada je drugi veliki matematičar, Leonhard Euler, istraživao druge vrste integrala. Euler međutim nije toliko daleko istraživao i napustio je. Obožavatelj Eulera, Joseph Lagrange, napravio je neke modifikacije na Eulerov rad i nastavio dalje. LaGrangeov rad privukao je pažnju Laplacea 38 godina kasnije, 1782. godine, gdje je nastavio gdje je Euler prestao. Ali tek tri godine kasnije, 1785. godine, Laplace je imao genijalnu ideju i promijenio način na koji rješavamo diferencijalne jednadžbe za uvijek. Nastavio je raditi na tome i otkrivati prave moći Laplaceove transformacije do 1809. godine, kada je počeo koristiti besk