Tabella della Trasformata di Laplace Formula Esempi & Proprietà

La trasformazione di Laplace è una tecnica per risolvere equazioni differenziali. Qui l'equazione differenziale in forma del dominio del tempo viene prima trasformata in un'equazione algebrica in forma del dominio della frequenza. Dopo aver risolto l'equazione algebrica nel dominio della frequenza, il risultato viene infine trasformato nuovamente nella forma del dominio del tempo per ottenere la soluzione finale dell'equazione differenziale. In altre parole, si può dire che la trasformazione di Laplace non è altro che un metodo abbreviato per risolvere le equazioni differenziali.

In questo articolo, discuteremo delle trasformate di Laplace e di come vengono utilizzate per risolvere equazioni differenziali. Forniscono anche un metodo per formare una funzione di trasferimento per un sistema di ingresso-uscita, ma questo non sarà discusso qui. Forniscono i blocchi di base per l'ingegneria del controllo, utilizzando diagrammi a blocchi, ecc.

Esistono molte trasformazioni, ma le trasformate di Laplace e le trasformate di Fourier sono le più conosciute. Le trasformate di Laplace vengono solitamente utilizzate per semplificare un'equazione differenziale in un semplice problema algebrico risolvibile. Anche quando l'algebra diventa un po' complessa, è comunque più facile da risolvere rispetto alla risoluzione di un'equazione differenziale.

Tabella della Trasformata di Laplace

C'è sempre una tabella disponibile all'ingegnere che contiene informazioni sulle trasformate di Laplace. Un esempio di tabella delle trasformate di Laplace è stato realizzato di seguito. Conosceremo le trasformate di Laplace di varie funzioni comuni dalla seguente tabella.

Definizione della Trasformata di Laplace

Quando si impara la trasformata di Laplace, è importante comprendere non solo le tabelle, ma anche la formula.

Per comprendere la formula della trasformata di Laplace: Prima, sia f(t) la funzione di t, tempo per tutti t ≥ 0

Allora la trasformata di Laplace di f(t), F(s) può essere definita come

Fornito che l'integrale esista. Dove l'Operatore di Laplace, s = σ + jω; sarà reale o complesso j = √(-1)

Svantaggi del Metodo della Trasformata di Laplace

Le trasformate di Laplace possono essere utilizzate solo per risolvere equazioni differenziali complesse e, come tutti i grandi metodi, hanno un svantaggio, che potrebbe non sembrare così grande. Cioè, puoi utilizzare questo metodo solo per risolvere equazioni differenziali CON costanti note. Se hai un'equazione senza le costanti note, allora questo metodo è inutile e dovrai trovare un altro metodo.

Storia delle Trasformate di Laplace

La trasformazione in matematica riguarda la conversione di una funzione in un'altra funzione che potrebbe non essere nello stesso dominio. Il metodo di trasformazione trova applicazione in quei problemi che non possono essere risolti direttamente. Questa trasformazione prende il nome dal matematico e astronomo Pierre Simon Laplace che visse in Francia.

Utilizzò una trasformazione simile nelle sue aggiunte alla teoria della probabilità. Diventò popolare dopo la Seconda Guerra Mondiale. Questa trasformazione fu resa popolare da Oliver Heaviside, un ingegnere elettrico inglese. Altri famosi scienziati come Niels Abel, Mathias Lerch e Thomas Bromwich la utilizzarono nel XIX secolo.

La storia completa delle trasformate di Laplace può essere tracciata un po' più indietro, più specificamente nel 1744. È quando un altro grande matematico chiamato Leonhard Euler stava studiando altri tipi di integrali. Tuttavia, Euler non lo perseguì molto lontano e lo lasciò. Un ammiratore di Euler chiamato Joseph Lagrange fece alcune modifiche al lavoro di Euler e proseguì ulteriormente. Il lavoro di LaGrange attirò l'attenzione di Laplace 38 anni dopo, nel 1782, dove continuò a riprendere da dove Euler aveva interrotto. Ma furono solo 3 anni dopo, nel 1785, dove Laplace ebbe un colpo di genio e cambiò il modo in cui risolviamo le equazioni differenziali per sempre. Continuò a lavorarci e continuò a sbloccare il vero potere della trasformata di Laplace fino al 1809, dove iniziò a utilizzare l'infinito come condizione integrale.

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