Tabela transformacji Laplace'a Formuły Przykłady i Właściwości
Transformacja Laplace'a to technika rozwiązywania równań różniczkowych. W tym przypadku równanie różniczkowe w dziedzinie czasu jest najpierw przekształcane na równanie algebraiczne w dziedzinie częstotliwości. Po rozwiązaniu równania algebraicznego w dziedzinie częstotliwości, wynik jest ostatecznie przekształcany z powrotem do dziedziny czasowej, aby osiągnąć ostateczne rozwiązanie równania różniczkowego. Innymi słowy, można powiedzieć, że transformacja Laplace'a to nic innego jak skrócone metody rozwiązywania równań różniczkowych.
W tym artykule omówimy transformacje Laplace'a i sposób ich zastosowania do rozwiązywania równań różniczkowych. Zapewniają one również metodę tworzenia transmitancji dla systemu wejście-wyjście, ale tego nie będziemy tutaj omawiać. Stanowią podstawowe elementy inżynierii sterowania, wykorzystywane w diagramach blokowych itp.
Istnieje wiele rodzajów transformacji, ale transformacje Laplace'a i transformacje Fouriera są najbardziej znane. Transformacje Laplace'a są zwykle używane do uproszczenia równania różniczkowego do prostego i rozwiązywalnego problemu algebraicznego. Nawet gdy algebra staje się trochę skomplikowana, jest nadal łatwiejsza do rozwiązania niż równanie różniczkowe.
Tabela transformacji Laplace'a
Zawsze istnieje tabela dostępna dla inżyniera, która zawiera informacje na temat transformacji Laplace'a. Przykład tabeli transformacji Laplace'a został przedstawiony poniżej. Poznamy transformację Laplace'a różnych typowych funkcji z poniższej tabeli.
Definicja transformacji Laplace'a
Kiedy uczymy się transformacji Laplace'a, ważne jest zrozumienie nie tylko tabel, ale także wzoru.
Aby zrozumieć wzór transformacji Laplace'a: Najpierw niech f(t) będzie funkcją t, czasu dla wszystkich t ≥ 0
Wtedy transformata Laplace'a f(t), F(s) może być zdefiniowana jako
Pod warunkiem, że całka istnieje. Gdzie operator Laplace'a, s = σ + jω; będzie rzeczywisty lub zespolony j = √(-1)
Wady metody transformacji Laplace'a
Transformacje Laplace'a mogą być używane jedynie do rozwiązywania złożonych równań różniczkowych i jak wszystkie wielkie metody, mają pewną wadę, która może nie wydawać się tak duża. Polega ona na tym, że tę metodę można stosować do rozwiązywania równań różniczkowych TYLKO Z ZNANYMI STAŁYMI. Jeśli masz równanie bez znanych stałych, ta metoda jest bezużyteczna i musisz znaleźć inną metodę.
Historia transformacji Laplace'a
Transformacja w matematyce dotyczy konwersji jednej funkcji na inną, która może nie być w tej samej dziedzinie. Metoda transformacji znajduje zastosowanie w problemach, które nie mogą być rozwiązane bezpośrednio. Ta transformata została nazwana na cześć matematyka i znanego astronoma Pierre'a Simona Laplace'a, który żył we Francji.
Użył podobnej transformacji w swoich dodatkach do teorii prawdopodobieństwa. Stała się popularna po Drugiej Wojnie Światowej. Tę transformację spopularyzował Oliver Heaviside, angielski inżynier elektryk. Inni znani naukowcy tacy jak Niels Abel, Mathias Lerch i Thomas Bromwich używali jej w XIX wieku.
Pełna historia transformacji Laplace'a może być śledzona nieco dalej w przeszłość, dokładniej mówiąc w 1744 roku. To kiedy kolejny wielki matematyk o imieniu Leonhard Euler prowadził badania nad innymi rodzajami całek. Euler jednak nie posunął się zbyt daleko i odłożył to. Admirał Eulera o imieniu Joseph Lagrange dokonał pewnych modyfikacji w pracy Eulera i kontynuował pracę. Praca Lagrange'a zwróciła uwagę Laplace'a 38 lat później, w 1782 roku, gdzie kontynuował prace tam, gdzie Euler je zostawił. Ale dopiero trzy lata później, w 1785 roku, Laplace miał błysk genialności i zmienił sposób, w jaki rozwiązywaliśmy równania różniczkowe na zawsze. Kontynuował pracę nad tym i kontynuował odkrywanie prawdziwej mocy transformacji Laplace'a aż do 1809 roku, kiedy zaczął używać nieskończoności jako warunku całkowania.
