Laplace-transformtabell Formler Exempel & Egenskaper

Laplacetransformering är en teknik för att lösa differentialekvationer. Här transformeras tidsdomänsdifferentialekvationen först till en algebraisk ekvation i frekvensdomänen. Efter att ha löst den algebraiska ekvationen i frekvensdomänen transformeras resultatet tillbaka till tidsdomänen för att få den slutliga lösningen på differentialekvationen. Med andra ord kan det sägas att Laplacetransformering är inget annat än en genväg för att lösa differentialekvationer.

I denna artikel kommer vi att diskutera Laplacetransformer och hur de används för att lösa differentialekvationer. De ger också en metod för att skapa överföringsfunktioner för in- och utmatningssystem, men detta kommer inte att diskuteras här. De ger grundläggande byggstenar för reglerteknik, med hjälp av blockdiagram, etc.

Många typer av transformer finns redan, men Laplacetransformer och Fouriertransformer är de mest kända. Laplacetransformer används vanligtvis för att förenkla en differentialekvation till ett enkelt och lösbart algebraiskt problem. Även när algebran blir lite komplex är det fortfarande lättare att lösa än att lösa en differentialekvation.

Laplacetransformationstabell

Det finns alltid en tabell som är tillgänglig för ingenjören som innehåller information om Laplacetransformer. Ett exempel på Laplacetransformationstabell har gjorts nedan. Vi kommer att få veta om Laplacetransformerna av olika vanliga funktioner från följande tabell.

Laplacetransformdefinition

När man lär sig Laplacetransformering, är det viktigt att förstå inte bara tabellerna – utan även formeln.

För att förstå Laplacetransformformeln: Låt först f(t) vara funktionen av t, tid för alla t ≥ 0

Då kan Laplacetransformen av f(t), F(s) definieras som

Förutsatt att integralen existerar. Där Laplaceoperatorn, s = σ + jω; kommer att vara reell eller komplex j = √(-1)

Nackdelar med Laplacetransformmetoden

Laplacetransformer kan endast användas för att lösa komplexa differentialekvationer och som alla bra metoder, har den en nackdel, vilken kanske inte verkar så stor. Det vill säga, du kan bara använda denna metod för att lösa differentialekvationer MED kända konstanter. Om du har en ekvation utan kända konstanter, då är denna metod oanvändbar och du måste hitta en annan metod.

Historia om Laplacetransformer

Transformation inom matematiken handlar om konvertering av en funktion till en annan funktion som kanske inte är i samma domän. Transformmetoden hittar sin tillämpning i de problem som inte kan lösas direkt. Denna transform är uppkallad efter matematikern och berömd astronomen Pierre Simon Laplace som levde i Frankrike.

Han använde en liknande transform i sina tillägg till sannolikhetsläran. Den blev populär efter Andra världskriget. Denna transform blev populär genom Oliver Heaviside, en engelsk elektriker. Andra kända vetenskapsmän som Niels Abel, Mathias Lerch och Thomas Bromwich använde den under 1800-talet.

Den fullständiga historien om Laplacetransformer kan spåras ännu längre tillbaka, mer specifikt 1744. Det var då en annan stor matematiker vid namn Leonhard Euler forskade på andra typer av integraler. Euler fortsatte dock inte särskilt långt och lät det vara. En beundrare av Euler, Joseph Lagrange, gjorde några modifieringar av Eulers arbete och fortsatte arbetet. Lagranges arbete fick Laplaces uppmärksamhet 38 år senare, 1782, där han fortsatte där Euler slutade. Men det var inte förrän 3 år senare, 1785, där Laplace hade en genistreich och förändrade sättet vi löser differentialekvationer för alltid. Han fortsatte att jobba med det och fortsatte att låsa upp det sanna kraftfältet hos Laplacetransformen tills 1809, då han började använda oändlighet som en integralkondition.

Laplacetransformmet