Таблица преобразования Лапласа Формулы Примеры и Свойства

Преобразование Лапласа — это метод решения дифференциальных уравнений. Здесь дифференциальное уравнение в форме временной области сначала преобразуется в алгебраическое уравнение в форме частотной области. После решения алгебраического уравнения в частотной области результат затем окончательно преобразуется в форму временной области для достижения конечного решения дифференциального уравнения. Другими словами, можно сказать, что преобразование Лапласа — это просто краткий метод решения дифференциального уравнения.

В этой статье мы будем обсуждать преобразования Лапласа и то, как они используются для решения дифференциальных уравнений. Они также предоставляют метод формирования передаточной функции для системы вход-выход, но это здесь не будет обсуждаться. Они предоставляют основные строительные блоки для инженерии управления, используя блок-схемы и т.д.

Существует множество видов преобразований, но преобразования Лапласа и преобразования Фурье являются наиболее известными. Преобразование Лапласа обычно используется для упрощения дифференциального уравнения до простой и решаемой алгебраической задачи. Даже когда алгебра становится немного сложнее, ее все равно легче решить, чем решать дифференциальное уравнение.

Таблица преобразования Лапласа

Всегда есть таблица, доступная инженеру, которая содержит информацию о преобразованиях Лапласа. Пример таблицы преобразования Лапласа приведен ниже. Мы узнаем о преобразовании Лапласа различных общих функций из следующей таблицы.

Определение преобразования Лапласа

При изучении преобразования Лапласа важно понимать не только таблицы, но и формулу.

Чтобы понять формулу преобразования Лапласа: пусть f(t) — функция времени t для всех t ≥ 0

Тогда преобразование Лапласа f(t), F(s) можно определить как

При условии, что интеграл существует. Где оператор Лапласа, s = σ + jω; будет действительным или комплексным, j = √(-1)

Недостатки метода преобразования Лапласа

Преобразования Лапласа могут использоваться только для решения сложных дифференциальных уравнений, и, как и все великие методы, у него есть недостаток, который может показаться не таким уж большим. Это значит, что вы можете использовать этот метод только для решения дифференциальных уравнений С ИЗВЕСТНЫМИ ПОСТОЯННЫМИ. Если у вас есть уравнение без известных постоянных, то этот метод бесполезен, и вам придется найти другой метод.

История преобразований Лапласа

Преобразование в математике связано с преобразованием одной функции в другую функцию, которая может находиться в другой области. Метод преобразования находит свое применение в тех задачах, которые нельзя решить напрямую. Это преобразование названо в честь математика и известного астронома Пьера Симона Лапласа, который жил во Франции.

Он использовал похожее преобразование в своих добавлениях к теории вероятностей. Оно стало популярным после Второй мировой войны. Этот метод был популяризирован английским электротехником Оливером Хевисайдом. Другие известные ученые, такие как Нильс Абель, Матиас Лерх и Томас Бромвич, использовали его в XIX веке.

Полная история преобразований Лапласа может быть прослежена немного дальше в прошлое, более конкретно 1744 год. Это когда другой великий математик по имени Леонард Эйлер исследовал другие типы интегралов. Однако Эйлер не продолжил свои исследования слишком далеко и оставил их. Последователь Эйлера по имени Жозеф Лагранж внес некоторые изменения в работу Эйлера и продолжил дальнейшие исследования. Работа Лагранжа привлекла внимание Лапласа 38 лет спустя, в 1782 году, где он продолжил там, где остановился Эйлер. Но это было не через три года, а в 1785 году, когда Лаплас имел гениальную идею и навсегда изменил способ решения дифференциальных уравнений. Он продолжал работать над этим и продолжал раскрывать истинную мощь преобразования Лапласа до 1809 года, когда он начал использовать бесконечность в качестве условия интегрирования.

Чаевые