Таблица на Лапласовото преобразуване, формула, примери и свойства

Лапласовото преобразуване е техника за решаване на диференциални уравнения. Тук диференциалното уравнение във времевата област се трансформира първо в алгебрично уравнение в честотната област. След решаването на алгебричното уравнение в честотната област, резултатът се трансформира обратно във времевата област, за да се постигне окончателното решение на диференциалното уравнение. Други думи, може да се каже, че Лапласовото преобразуване е нищо друго освен кратък метод за решаване на диференциални уравнения.

В тази статия ще обсъдим Лапласовите преобразувания и как те се използват за решаване на диференциални уравнения. Те предоставят и метод за формиране на преносна функция за системи вход-изход, но това няма да бъде обсъдено тук. Те предоставят основните строителни блокове за инженерната теория на контрола, използвайки блокови диаграми и т.н.

Съществуват много видове преобразувания, но Лапласовите преобразувания и Фуриевите преобразувания са най-известните. Лапласовите преобразувания обикновено се използват, за да опростят диференциалното уравнение до просто и разрешимо алгебрично уравнение. Дори и когато алгебрата стане малко сложна, все още е по-лесно да се реши, отколкото решаването на диференциално уравнение.

Таблица на Лапласовото преобразуване

Винаги има таблица, която е налична за инженера и съдържа информация за Лапласовите преобразувания. Пример за таблица на Лапласовото преобразувание е направена по-долу. Ще разберем за Лапласовото преобразувание на различни общи функции от следващата таблица.

Определение на Лапласовото преобразуване

Когато учим Лапласовото преобразуване, е важно да разберем не само таблиците – но и формулата.

За да разберем формулата на Лапласовото преобразуване: Първо нека f(t) е функцията на t, времето за всички t ≥ 0

Тогава Лапласовото преобразуване на f(t), F(s) може да бъде дефинирано като

При условие, че интегралът съществува. Където операторът на Лаплас, s = σ + jω; ще бъде реален или комплексен, j = √(-1)

Недостатъци на метода на Лапласовото преобразуване

Лапласовите преобразувания могат да бъдат използвани само за решаване на сложни диференциални уравнения и както всички велики методи, той има недостатък, който може да не изглежда толкова голям. Това е, че можете да използвате този метод само за решаване на диференциални уравнения С ИЗВЕСТНИ константи. Ако имате уравнение без известни константи, тогава този метод е безполезен и трябва да намерите друг метод.

История на Лапласовите преобразувания

Преобразуването в математиката се занимава с преобразуването на една функция в друга, която може да не е в същата област. Методът на преобразуването намира приложение в проблеми, които не могат да бъдат решени директно. Това преобразуване е наречено на математика и известен астроном Пиер Симон Лаплас, който живееше във Франция.

Той използва подобно преобразуване в допълненията си към теорията на вероятностите. То стана популярно след Втората световна война. Това преобразуване беше направено популярно от Оливер Хивисайд, английски електроинженер. Други известни учени като Нилс Абел, Матиас Лерх и Томас Бромвич го използваха през 19 век.