טבלת טרנספורם לפלס נוסחה דוגמאות ומאפיינים
טרנספורמצית לפלס היא טכניקה לפתרון משוואות דיפרנציאליות. כאן, משוואת הדיפרנציאל בצורה של תחום הזמן מתמירה קודם כל למשוואה אלגברית בצורה של תחום התדר. לאחר פתרון המשוואה האלגברית בתחום התדר, התוצאה מתמירה סופית חזרה לתוך תחום הזמן כדי להשיג את הפתרון הסופי של משוואת הדיפרנציאל. במילים אחרות, ניתן לומר שהטרנספורמציה של לפלס היא שיטה קיצור לפתרון משוואות דיפרנציאליות.
במאמר זה, נדון בטרנספורמציות של לפלס וכיצד הן משמשות לפתרון משוואות דיפרנציאליות. הן מספקות גם דרך ליצור פונקציה מעבר למערכות כניסה-יציאה, אך זה לא יידון כאן. הן מספקות את הבניינים הבסיסיים להנדסת בקרה, באמצעות דיאגרמות בלוקים וכו'.
jàtszóként már léteznek מגוונים רבים של טרנספורמציות, אבל הטרנספורמציות של לפלס והטרנספורמציות של פורייה הם המוכרים ביותר. הטרנספורמציות של לפלס בדרך כלל משמשות לצמצום משוואת דיפרנציאל לבעיה אלגברית פשוטה ופתירה. אפילו כאשר האלגברה נעשית קצת מורכבת, עדיין קל יותר לפתור אותה מאשר לפתור משוואת דיפרנציאל.
טבלת טרנספורמציה של לפלס
יש תמיד טבלה הזמינה מהנדסים המכילה מידע על טרנספורמציות לפלס. דוגמה לטבלה של טרנספורמציה של לפלס מוצגת למטה. נגיע להכיר את טרנספורמציית לפלס של פונקציות שונות מהטבלה הבאה.
הגדרת טרנספורמציה של לפלס
כאשר לומדים את טרנספורמציית לפלס, חשוב להבין לא רק את הטבלאות – אלא גם את הנוסחה עצמה.
כדי להבין את נוסחת הטרנספורמציה של לפלס: ראשית, תנו ל-f(t) להיות פונקציה של t, זמן לכל t ≥ 0
אז טרנספורמציית לפלס של f(t), F(s) יכולה להיות מוגדרת כ
בהינתן שהאינטגרל קיים. כשאופרטור לפלס, s = σ + jω; יהיה ממשי או מרוכב j = √(-1)
חסרונות בשיטה של טרנספורמציה של לפלס
טרנספורמציות של לפלס יכולות לשמש רק לפתרון משוואות דיפרנציאליות מורכבות, וככל שיטה טובה, יש לה חסרונות, שהם אולי לא נראים גדולים. כלומר, ניתן להשתמש בשיטה זו לפתרון משוואות דיפרנציאליות עם קבועים ידועים בלבד. אם אין לך משוואה ללא קבועים ידועים, אז השיטה הזו היא חסרת תועלת ואתה יצטרך למצוא שיטה אחרת.
היסטוריה של טרנספורמציות של לפלס
טרנספורמציה במתמטיקה מתמודדת עם המרת אחת פונקציה לפונקציה אחרת שאולי אינה באותו תחום. שיטת ההמרה מוצאת את היישום שלה בבעיות שלא ניתן לפתור אותן ישירות. הטרנספורמציה הזו נקראת על שם המתמטיקאי והאסטרונום המפורסם פייר סימון לפלס שהיה בצרפת.
הוא השתמש בהמרה דומה בעבודתו על תורת ההסתברויות. היא הפכה פופולרית אחרי מלחמת העולם השנייה. הטרנספורמציה הזו הפכה פופולרית בזכות אוליבר הייביסייד, מהנדס חשמל אנגלי. מדענים מפורסמים אחרים כמו נילס אבל, מתיאס לרח ותומאס ברומוויץ' השתמשו בה במאה ה-19.
ההיסטוריה המלאה של טרנספורמציות של לפלס יכולה לעקוב מעט יותר לקדימה, יותר ספציפית לשנת 1744. זה היה כשהמתמטיקאי הגדול לאונרד אוילר עשה מחקר על סוגים אחרים של אינטגרלים. אוילר לא המשיך בו הרבה והשאיר אותו. מאבק של אוילר בשם ז'וזף לגראנז' עשה כמה שינויים בעבודתו של אוילר והמשיך לעבוד. העבודה של לגראנז' גרמה ללפלס להשתחרר 38 שנים מאוחר יותר, בשנת 1782, שם הוא המשיך במקום שבו השאיר אוילר. אבל זה לא היה לפני 3 שנים מאוחר יותר, בשנת 1785, שם לפלס עבר התקף של גאונות ושינה את הדרך שבה אנחנו פותרים משוואות דיפרנציאליות לעד. הוא המשיך לעבוד עליו ומש tục לפתוח את הכוח האמיתי של טרנספורמציה של לפלס עד שנת 1809, שם הוא החל להשתמש באינסוף כתנאי אינטגרל.
