ラプラス変換表 フォーミュラ 例題と性質

ラプラス変換は、微分方程式を解くための手法です。ここでは、時間領域形式の微分方程式がまず周波数領域形式の代数方程式に変換されます。周波数領域でこの代数方程式を解いた後、結果は最終的に時間領域形式に変換され、微分方程式の最終的な解が得られます。言い換えれば、ラプラス変換は微分方程式を解くショートカット方法と言えます。

この記事では、ラプラス変換とその微分方程式の解法について説明します。また、入力-出力システムの伝達関数を形成する方法も提供しますが、ここでは詳しく説明しません。制御工学の基本構成要素としてブロック図などを使用して提供します。

多くの種類の変換が既に存在していますが、ラプラス変換とフーリエ変換が最もよく知られています。ラプラス変換は通常、微分方程式を単純な代数問題に簡略化するために使用されます。代数が少し複雑になっても、微分方程式を解くよりも簡単です。

ラプラス変換表

エンジニアには常にラプラス変換に関する情報が含まれた表が利用可能です。ラプラス変換表の例が以下に示されています。以下の表から、様々な一般的な関数のラプラス変換を知ることができます。

ラプラス変換の定義

ラプラス変換を学ぶ際には、表だけでなく公式も理解することが重要です。

ラプラス変換の公式を理解するには：まず、t≧0に対してf(t)をtの関数とします。

次に、f(t)のラプラス変換F(s)は

ただし、積分が存在することを条件とする。ここで、ラプラス演算子 s = σ + jω は実数または複素数であり、j = √(-1) である。

ラプラス変換法の欠点

ラプラス変換は複雑な微分方程式を解くためにのみ使用できます。すべての優れた方法と同じように、これは欠点があります。つまり、この方法を使用して微分方程式を解くことができるのは、既知の定数を持つ場合のみです。もし定数が未知の微分方程式がある場合は、この方法は無効となり、別の方法を見つける必要があります。

ラプラス変換の歴史

数学における変換は、ある関数を別の関数に変換することを扱います。変換法は直接解けない問題に適用されます。この変換は、フランスの数学者で有名な天文学者ピエール・シモン・ラプラスにちなんで名付けられました。

彼は確率論への追加において同様の変換を使用しました。第二次世界大戦後に人気を得ました。この変換は、イギリスの電気技術者オリバー・ヘヴィサイドによって広まりました。ニールス・アーベル、マティアス・レルヒ、トーマス・ブロムウィッチなどの他の著名な科学者も19世紀にこれを使用しました。

ラプラス変換の完全な歴史は、もっと過去まで遡ることができ、具体的には1744年までです。これは、別の偉大な数学者であるレオンハルト・オイラーが他の種類の積分を研究していたときです。オイラーはそれほど遠くまで追求せず、それを放置しました。オイラーの崇拝者であるジョゼフ・ラグランジュは、オイラーの仕事を修正し、さらに進展させました。ラグランジュの仕事は、38年後の1782年にラプラスの注意を引き、彼はオイラーが中断したところから再開しました。しかし、それは3年後の1785年で、ラプラスは天才的な閃きを持って微分方程式を解く方法を永遠に変えました。彼はラプラス変換の真の力を解き明かすために続け、1809年まで続き、無限大を積分条件として使用しました。

ラプラス変換の方法

ラプラス変換は制御システム工学の重要な部分です。制御システムを研究または分析するには、異なる関数（時間の関数）のラプラス変換を行う必要があります。逆ラプラス変換も、ラプラス形式から関数 f(t) を見つけるための重要なツールです。