لاپلاس تبدیل کا ابتدائی قدر کا مسئلہ

اینٹیشل ویلیو تھیورم لاپلاس ترانسفر کی بنیادی خصوصیات میں سے ایک ہے۔ یہ فرانسیسی ریاضی دان پیر سائمن مارکیز ڈی لاپلاس نے دیا تھا۔ انہوں نے نیوٹن کے جاذبیت کے نظریے کو آپریشن کرتے ہوئے سیاروں کی حرکت کے شعبے میں اہم کام کیا تھا۔ ان کا احتمال اور اعدادوشمار کے نظریہ کے بارے میں کام پیشرو گزار ہے اور یہ نسل کے نسل کے ریاضی دانوں پر اثر ڈالا ہے۔ لاپلاس ان 72 لوگوں میں سے ایک ہیں جن کا نام ایفیل ٹاور پر کندہ کیا گیا ہے۔
اینٹیشل ویلیو تھیورم اور فائنل ویلیو تھیورم کو مل کر لمیٹنگ تھیورمز کہا جاتا ہے۔ اینٹیشل ویلیو تھیورم کو عام طور پر IVT کہا جاتا ہے۔ یہ ہمیں کسی دی گئی تبدیل فنکشن (لاپلاس) کے لیے وقت t = (0+) پر اصل قدر معلوم کرنے کی صلاحیت دے گا بغیر اس کے کہ ہم f(t) معلوم کرنے کے لیے زیادہ کام کریں جو ایسے موارد میں مشکل کام ہوتا ہے۔

اینٹیشل ویلیو تھیورم کی موجودگی کے لیے شرائط

1. فنکشن f(t) اور اس کا مشتق f'(t) لاپلاس ترانسفر کے قابل ہونا چاہئے۔

2. اگر وقت t (0+) کے قریب پہنچتا ہے تو فنکشن f(t) موجود ہونا چاہئے۔

1. فنکشن f(t) = 0 for t > 0 اور مبدا پر کوئی ضرباندازی یا بلند درجہ کی غیر معمولی حالتیں نہیں ہوتیں۔

اینٹیشل ویلیو تھیورم کا بیان

اگر f(t) اور F(s) لاپلاس ترانسفر کے جوڑے ہیں۔ یعنی

تو اینٹیشل ویلیو تھیورم کو یوں دیا جاتا ہے

فنکشن f(t) کا لاپلاس ترانسفر

تو اس کے مشتق f ‘ (t) کا لاپلاس ترانسفر

پہلے انٹیگرل کا حصہ لیں

(2) کو (1) میں تعویض کرتے ہوئے ہم کو ملتا ہے

دونوں طرف f (0–) کو کاٹ دیتے ہوئے ہم کو ملتا ہے

ہم مستقیماً اوپر والی مساوات لکھ سکتے ہیں لیکن میرا مقصد (0– to ∞) کے حدود کو لینا یہ ہے کہ جس طرح بھی ہم منفی حدود کو لیتے ہیں، نتائج مثبت قدر کے ہوتے ہیں۔

نوٹ:
ہم جانتے ہیں کہ لاپلاس ترانسفر صرف کازوال فنکشن کے لیے قابل اطلاق ہے۔
(s) کو دونوں طرف لامتناہی کے طور پر دیکھتے ہوئے (3) میں

اس لیے، اینٹیشل ویلیو تھیورم ثابت ہوا ہے۔

اینٹیشل ویلیو تھیورم کے اطلاق

جیسے مجھے پہلے ہی کہنا تھا کہ اینٹیشل ویلیو تھیورم کا مقصد فنکشن f (t) کی اصل قدر معلوم کرنا ہے جب کہ اس کا لاپلاس ترانسفر دیا گیا ہے
مثال 1 :
فنکشن f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t) کی اصل قدر معلوم کریں۔
حل:

اینٹیشل ویلیو تھیورم کے ذریعے

اصل قدر 5 ہے۔
مثال 2:
ترانسفر شدہ فنکشن کی اصل قدر معلوم کریں

حل:

اینٹیشل ویلیو تھیورم کے ذریعے