Laplace'i teisenduse algväärtusteoreem

Algse väärtuse teoreem on üks Laplace'i teisenduse põhivastest omadustest. Selle andis tuntud prantsuse matemaatikofüüsik Pierre Simon Marquis De Laplace. Ta tegi olulisi panuseid planeetide liikumise valdkonnas, rakendades Newtoni gravitatsiooniteooriat. Tema töö tõenäosusteooria ja statistika valdkonnas on peetud eeskujuks ja see mõjutas uut matemaatikute põlvkonda. Laplace on üks 72 inimest, kelle nimi on kirjutatud Eiffeli torni külge.
Algse väärtuse teoreem ja lõpliku väärtuse teoreem on koos tuntud kui piirteoreeme. Algse väärtuse teoreemi tavaliselt nimetatakse IVT. See võimaldab meil leida algse väärtuse ajal t = (0+) antud teisendatud funktsiooni (Laplace) jaoks ilma, et me peaksime raske tööd tegema, et leida f(t), mis sellisel juhul oleks väga kuluv.

Algse väärtuse teoreemi eksisteerimise tingimused

1. Funktsioon f(t) ja selle tuletis f'(t) peaksid olema Laplace'i teisendatavad.

2. Kui aeg t läheneb (0+), peaks funktsioon f(t) eksisteerima.

1. Funktsioon f(t) = 0, kui t > 0 ja see ei sisalda pulsu või kõrgemat järku singulaarsusi päritolukohas.

Laplace'i algse väärtuse teoreemi sõnastus

Kui f(t) ja F(s) on Laplace'i teisenduspäringud. st

siis algse väärtuse teoreem on antud valemiga

Funktsiooni f(t) Laplace'i teisendus on

siis selle tuletise f'(t) Laplace'i teisendus on

Vaatame esmalt integraali osa

Asendades (2) (1)-isse saame

Järgnevalt f (0–) tühistamisel mõlemal pool saame

Me võiksime otse kirjutada eelnevate võrrandi, kuid minu eesmärk võtta integreerimise piirid (0– kuni ∞) on, et isegi kui me arvestame negatiivseid piire, siis tulemused on positiivsed.

Märkus:
Teame ka, et Laplace'i teisendus on kohaldatav ainult kaukaalsed funktsioonid.
Kui (s) läheneb lõpmatusele mõlemal pool (3)-s

Seega on algse väärtuse teoreem tõestatud.

Algse väärtuse teoreemi rakendused

Nagu ma varem ütlesin, on algse väärtuse teoreemi eesmärk määrata funktsiooni f(t) algne väärtus, kui tema Laplace'i teisendus on antud.
Näide 1 :
Leidke algsed väärtused funktsioonile f(t) = 2 u(t) + 3 cos(t) u(t)
Lahendus:

Algse väärtuse teoreemi järgi

Algne väärtus on 5.
Näide 2:
Leidke algne väärtus teisendatud funktsioonile

Lahendus:

Algse väärtuse teoreemi järgi

[kuna s → ∞, siis s väärtused muutuvad üha tähtsamaks, seega tulemus saadakse lihtsalt juurdekoefitsientide suhte abil]