लाप्लास रुपांतरण का प्रारंभिक मूल्य प्रमेय
आरंभिक मान प्रमेय लाप्लास ट्रांसफॉर्म की एक मूल विशेषता है। इसे प्रमुख फ्रांसीसी गणितीय भौतिकविद् पियर सिमोन मार्कीस डी लाप्लास द्वारा दिया गया था। उन्होंने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत को लगाकर ग्रहों की गति के क्षेत्र में महत्वपूर्ण योगदान दिया। उनका संभाव्यता और सांख्यिकी सिद्धांत के क्षेत्र में काम अग्रणी माना जाता है और यह एक पूरी नई पीढ़ी के गणितज्ञों को प्रभावित किया। लाप्लास ऐसे 72 लोगों में से एक हैं जिनके नाम आइफेल टावर पर खुदे हैं।
आरंभिक मान प्रमेय और अंतिम मान प्रमेय एक साथ सीमा प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं। आरंभिक मान प्रमेय को अक्सर IVT के रूप में जाना जाता है। यह हमें दिए गए ट्रांसफॉर्म (लाप्लास) फंक्शन के लिए t = (0+) पर आरंभिक मान खोजने की सुविधा प्रदान करेगा, बिना f(t) खोजने के, जो इस मामले में एक थकावटपूर्ण प्रक्रिया है।
आरंभिक मान प्रमेय के अस्तित्व के लिए शर्तें
फंक्शन f(t) और इसका अवकलज f'(t) लाप्लास ट्रांसफॉर्म करने योग्य होना चाहिए।
यदि समय t (0+) के निकट आता है तो फंक्शन f(t) का अस्तित्व होना चाहिए।
फंक्शन f(t) = 0 जब t > 0 और मूल पर कोई इम्पल्स या उच्च क्रम की विशिष्टताएं नहीं होती हैं।
लाप्लास आरंभिक मान प्रमेय का कथन
यदि f(t) और F(s) लाप्लास ट्रांसफॉर्म युग्म हैं। अर्थात
तो आरंभिक मान प्रमेय दिया जाता है
फंक्शन f(t) का लाप्लास ट्रांसफॉर्म
तो इसके अवकलज f'(t) का लाप्लास ट्रांसफॉर्म
समाकलन के पहले हिस्से को लेते हुए
(2) को (1) में रखने पर हम प्राप्त करते हैं
दोनों ओर f (0–) को रद्द करने पर हम प्राप्त करते हैं
हम सीधे ऊपर दिए गए समीकरण को लिख सकते हैं, लेकिन मैं इंटीग्रेशन की सीमाओं को (0– से ∞) तक लेने का इरादा यह है कि चाहे हम कितनी भी ऋणात्मक सीमाओं को लें, परिणाम धनात्मक मानों को प्रतिबिंबित करता है।
नोट:
हम जानते हैं कि लाप्लास ट्रांसफॉर्म केवल उत्तरोत्तर फंक्शनों के लिए लागू होता है।
(3) में (s) को दोनों ओर अनंत की ओर ले जाने पर
इस प्रकार, आरंभिक मान प्रमेय सिद्ध हो जाता है।
आरंभिक मान प्रमेय के अनुप्रयोग
जैसा कि मैंने पहले कहा, आरंभिक मान प्रमेय का उद्देश्य फंक्शन f(t) का आरंभिक मान निर्धारित करना है, जब इसका लाप्लास ट्रांसफॉर्म दिया गया हो
उदाहरण 1 :
फंक्शन f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t) का आरंभिक मान ज्ञात कीजिए
हल:
आरंभिक मान प्रमेय द्वारा
आरंभिक मान 5 दिया गया है।
उदाहरण 2:
ट्रांसफॉर्म फंक्शन का आरंभिक मान ज्ञात कीजिए
