Twierdzenie o wartości początkowej transformacji Laplace'a

Twierdzenie o wartości początkowej jest jednym z podstawowych właściwości transformacji Laplace'a. Zostało ono sformułowane przez wybitnego francuskiego fizyka-matematyka Pierre'a Simona Marquisa de Laplace'a. Laplace dokonał kluczowych wkładów w dziedzinie ruchu planet, stosując teorię grawitacji Newtona. Jego prace dotyczące teorii prawdopodobieństwa i statystyki są uważane za pionierskie i wpłynęły na całe nowe pokolenie matematyków. Laplace jest jednym z 72 osób, których imiona zostały wyryte na Wieży Eiffla.
Twierdzenie o wartości początkowej i twierdzenie o wartości końcowej są razem nazywane twierdzeniami granicznymi. Twierdzenie o wartości początkowej często nazywane jest IVT. Umożliwi nam to znalezienie wartości początkowej w czasie t = (0+) dla danej funkcji przekształconej (Laplace'a) bez konieczności wykonania skomplikowanych obliczeń f(t), co jest pracochłonne w takim przypadku.

Warunki istnienia twierdzenia o wartości początkowej

1. Funkcja f(t) i jej pochodna f'(t) powinny być przekształcalne przez transformację Laplace'a.

2. Jeśli czas t dąży do (0+), to funkcja f(t) powinna istnieć.

1. Funkcja f(t) = 0 dla t > 0 i nie zawiera impulsów ani wyższych singularności w punkcie początkowym.

Wypowiedź twierdzenia o wartości początkowej transformacji Laplace'a

Jeśli f(t) i F(s) są parami transformacji Laplace'a. Tzn

to twierdzenie o wartości początkowej jest dane przez

Transformacja Laplace'a funkcji f(t) wynosi

to transformacja Laplace'a jej pochodnej f'(t) wynosi

Rozważmy najpierw część całkową

Podstawiając (2) do (1) otrzymujemy

Po skróceniu f(0–) po obu stronach otrzymujemy

Możemy od razu zapisać powyższe równanie, ale moim celem przyjmowania granic całkowania od (0– do ∞) jest to, że niezależnie od ujemnych wartości granic, wyniki mają dodatnie wartości.

Uwaga:
Wiemy również, że transformata Laplace'a jest stosowana tylko do funkcji przyczynowych.
Przyjmując, że (s) dąży do nieskończoności po obu stronach w (3)

Zatem twierdzenie o wartości początkowej zostało udowodnione.

Zastosowania twierdzenia o wartości początkowej

Jak wcześniej wspomniałem, celem twierdzenia o wartości początkowej jest określenie wartości początkowej funkcji f(t), jeśli dana jest jej transformata Laplace'a
Przykład 1 :
Znajdź wartość początkową dla funkcji f(t) = 2u(t) + 3cos(t)u(t)
Rozwiązanie:

Zgodnie z twierdzeniem o wartości początkowej

Wartość początkowa wynosi 5.
Przykład 2:
Znajdź wartość początkową przekształconej funkcji

Rozwiązanie:

Zgodnie z twierdzeniem o wartości początkowej

[gdy s → ∞, wartości s stają się coraz mniej znaczące, więc wynik otrzymujemy biorąc po prostu proporcję współczynników głównych]