Laplace Dönüşümünün Başlangıç Değer Teoremi

Başlangıç Değer Teoremi, Laplace dönüşümünün temel özelliklerinden biridir. Bu teori, önde gelen Fransız matematiksel fizikçi Pierre Simon Marquis De Laplace tarafından verilmiştir. Newton'un Çekim Kuramını uygulayarak gezegen hareketi alanında önemli katkılar sağlamıştır. Olasılık ve istatistik kuramı konusundaki çalışmaları, yeni nesil matematikçiler üzerinde etkili olmuştur. Laplace, Eiffel Kulesine adı kazınan 72 kişiden biridir.
Başlangıç değer teoremi ve son değer teoremi, Limit Teoremleri olarak adlandırılır. Başlangıç değer teoremi genellikle IVT olarak ifade edilir. Bu teorem, verilen bir dönüştürülmüş fonksiyon (Laplace) için t = (0+) anındaki başlangıç değerini, f(t)’yi bulmak gibi zorlu bir işlemden geçmeden belirlememize olanak tanır.

Başlangıç değer teoreminin varolma koşulları

1. f(t) fonksiyonu ve türevi f'(t) Laplace dönüşümüne uygulanabilir olmalıdır.

2. Eğer zaman t (0+)'a yaklaşıyorsa, f(t) fonksiyonu mevcut olmalıdır.

1. f(t) fonksiyonu t > 0 için 0'dır ve kökeninde daha yüksek dereceli süreklilik noktaları veya dürtüler içermemelidir.

Laplace Başlangıç Değer Teoremi Açıklaması

Eğer f(t) ve F(s) Laplace dönüşüm çiftleri ise. Yani

bu durumda başlangıç değer teoremi şöyledir:

f(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü

o zaman f ' (t) türevinin Laplace dönüşümü

Önce integral kısmı düşünülür

(2) ifadesi (1) ifadesine yerleştirildiğinde

Her iki tarafta da f (0–) ifadeleri iptal edildiğinde

Bu denklem doğrudan yazılabilir, ancak tüm integrasyon sınırlarının (0– to ∞) alınması, negatif limit değerlerini dikkate alıp, sonuçların pozitif değerlerini elde etmemizi sağlar.

Not:
Laplace dönüşümünün sadece kausal fonksiyonlara uygulanabileceğini biliyoruz.
(s) her iki tarafta da sonsuza gittikçe (3) ifadesi

Böylece, Başlangıç değer teoremi ispatlanmıştır.

Başlangıç Değer Teoremi Uygulamaları

Daha önce de belirttiğim gibi, başlangıç değer teoreminin amacı, Laplace dönüşümü verilen bir f(t) fonksiyonunun başlangıç değerini belirlemektir.
Örnek 1 :
f(t) = 2 u(t) + 3 cos(t) u(t) fonksiyonunun başlangıç değerini bulun.
Çözüm:

Başlangıç değer teoremine göre

Başlangıç değeri 5'tir.
Örnek 2:
Aşağıdaki dönüştürülmüş fonksiyonun başlangıç değerini bulun.

Çözüm:

Başlangıç değer teoremine göre

[s → ∞ olduğunda, s değerleri daha az öneme sahip hale gelir, bu nedenle sonuç, başta gelen katsayıların oranını alarak kolayca elde edilir]