Hukumu ya Thamani ya Awali ya Mabadiliko ya Laplace

Hukumu la thamani ya mwanzo ni moja ya michezo muhimu yatransform ya Laplace. Liliandikwa na mwanasayansi wa hisabati na fizikia kutoka Ufaransa Pierre Simon Marquis De Laplace. Alifanya mchango muhimu katika nyanja ya mzunguko wa sayari kwa kutumia teoria ya Gravitation ya Newton. Kazi yake juu ya teoria ya uwezekano na takwimu inatafsiriwa kama ya pioneri na hii ilihusisha kizazi chenye matumaini vya Mathematician. Laplace ni mmoja wa watu 72 ambao majina yao yamekutana kwenye Eiffel Tower.
Hukumu la thamani ya mwanzo na hukumu la thamani ya mwisho huongezeka kama Limiting Theorems. Hukumu la thamani ya mwanzo mara nyingi linatafsiriwa kama IVT. Linaweza kusaidia sisi kupata thamani ya mwanzo wakati t = (0+) kwa kazi iliyobadilishwa (laplace) bila tu kufanya kazi ngumu kupata f(t) ambayo ni mchakato mzogo katika hali hiyo.

Masharti za kuwepo kwa hukumu la thamani ya mwanzo

1. Kazi f(t) na maudhui yake f(t) yanapaswa kuwa transformable ya Laplace.

2. Ikiwa muda t unafika (0+) basi kazi f(t) yanapaswa kuwepo.

1. Kazi f(t) = 0 kwa t > 0 na haijulikani impulsive au singularities za kiwango cha juu chenye asili.

Maoni ya Hukumu la Thamani ya Mwanzo la Laplace

Ikiwa f(t) na F(s) ni zawadi za transform ya Laplace. i.e

bas hukumu la thamani ya mwanzo linajumuisha

Transform ya Laplace ya kazi f(t) ni

bas transform ya Laplace ya maudhui yake f ‘ (t) ni

Angalia sehemu ya integral kwanza

Kubadilisha (2) kwenye (1) tunapata

Kupungua f (0–) upande wote tunapata

Tunaweza kuandika tofauti hiyo tu lakini mawazo yangu kwenye limit ya integration kutoka (0– hadi ∞) ni kwamba ingawa tunachagua thamani zisizo sahihi za limit zinazopate thamani zisizo sahihi.

Note:
Tunajua pia kuwa transform ya Laplace inaweza kutumika tu kwa kazi za causal.
Kujadili (s) inaenda kwa infiniti upande wote kwenye (3)

Basi, hukumu la thamani ya mwanzo limetathmini.

Mahitaji ya Hukumu la Thamani ya Mwanzo

Kama nilivyosema awali lengo la hukumu la thamani ya mwanzo ni kuthibitisha thamani ya mwanzo ya kazi f (t) ikipewa transform ya Laplace yake
Mfano 1 :
Pata thamani ya mwanzo kwa kazi f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Sol:

Kwa hukumu la thamani ya mwanzo

Thamani ya mwanzo ni 5.
Mfano 2:
Pata thamani ya mwanzo ya kazi iliyobadilishwa

Sol:

Kwa hukumu la thamani ya mwanzo

[kama s → ∞ thamani za s zinakuwa zisizo sahihi zaidi kwa hiyo matokeo yanapatikana kwa kupata uwiano wa leading co-efficient]