Начална теорема за преобразуването на Лаплас
Теоремата за началната стойност е едно от основните свойства на Лапласовото преобразуване. Тя беше дадена от известния френски математик и физик Пиер Симон Маркиз де Лаплас. Той направи ключови приноси в областта на планетното движение, като приложи теорията на Нютон за гравитацията. Неговата работа по теорията на вероятностите и статистиката се счита за пионерска и тя повлияла цяло ново поколение математици. Лаплас е един от 72-те души, чиито имена са изрязани на Ейфеловата кула.
Теоремата за началната стойност и теоремата за крайната стойност заедно се наричат гранични теореми. Теоремата за началната стойност често се нарича IVT. Тя ни позволява да намерим началната стойност в момент t = (0+) за дадена преобразувана функция (лапласово) без да трябва да работим усърдно за да намерим f(t), което е труден процес в такъв случай.
Условия за съществуване на теоремата за началната стойност
Функцията f(t) и нейната производна f'(t) трябва да са лапласово преобразуеми.
Ако времето t клони към (0+), то функцията f(t) трябва да съществува.
Функцията f(t) = 0 за t > 0 и не съдържа импулси или по-високи редове особености в началото.
Формулировка на теоремата за началната стойност на Лаплас
Ако f(t) и F(s) са пари на Лапласово преобразуване. Т.е
то теоремата за началната стойност се дава от
Лапласовото преобразуване на функцията f(t) е
то Лапласовото преобразуване на нейната производна f ‘ (t) е
Разглеждаме интегралната част първо
Замествайки (2) в (1) получаваме
След отмяната на f (0–) от двете страни получаваме
Можем директно да запишем горното уравнение, но моята цел да взема границите на интеграцията от (0– до ∞) е, че въпреки че разглеждаме отрицателни стойности на границите, това се отнася до резултати с положителни стойности.
Забележка:
Знаем също, че Лапласовото преобразуване е приложимо само за причинни функции.
При приемане, че (s) клони към безкрайност от двете страни в (3)
Следователно, теоремата за началната стойност е доказана.
Приложения на теоремата за началната стойност
Както казах по-рано, целта на теоремата за началната стойност е да определи началната стойност на функцията f (t), ако е дадено нейното Лапласово преобразуване
Пример 1 :
Намерете началната стойност за функцията f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Решение:
По теоремата за началната стойност
Началната стойност е 5.
Пример 2:
Намерете началната стойност на преобразуваната функция
Решение:
По теоремата за началната стойност
