نظرية القيمة الأولية لتحويل لابلاس

تعتبر نظرية القيمة الأولية من الخصائص الأساسية لتحويل لابلاس. وقد قدمها الفيزيائي الرياضي الفرنسي البارز بيير سيمون ماركيز دو لابلاس. قدم إسهامات أساسية في مجال حركة الكواكب عن طريق تطبيق نظرية الجاذبية لنيوتن. يعتبر عمله حول نظرية الاحتمال والإحصاء رائدًا وأثر في جيل جديد كامل من الرياضيين. يعد لابلاس من بين 72 شخصًا لديهم اسمهم محفور على برج إيفل.
تعتبر نظرية القيمة الأولية ونظرية القيمة النهائية معًا باسم نظريات الحد. غالبًا ما يتم الإشارة إلى نظرية القيمة الأولية بـ IVT. ستتيح لنا العثور على القيمة الأولية عند t = (0+) لدالة محولة معينة (لابلاس) دون الحاجة للعمل الشاق لإيجاد f(t) وهو عملية مرهقة في مثل هذه الحالات.

شروط وجود نظرية القيمة الأولية

1. يجب أن تكون الدالة f(t) ومشتقتها f'(t) قابلة للتحويل باستخدام تحويل لابلاس.

2. إذا اقترب الوقت t من (0+)، يجب أن توجد الدالة f(t).

1. تكون الدالة f(t) = 0 عندما t > 0 ولا تحتوي على نبضات أو شذوذ ذات درجات أعلى عند نقطة الأصل.

بيان نظرية القيمة الأولية لتحويل لابلاس

إذا كانت f(t) وF(s) زوجاً من تحويلات لابلاس. أي

فإن نظرية القيمة الأولية تعطى بواسطة

تحويل لابلاس للدالة f(t) هو

فإن تحويل لابلاس لمشتقة f ‘ (t) هو

لنأخذ الجزء التكاملي أولاً

عند التعويض عن (2) في (1) نحصل على

بعد إلغاء f (0–) على الجانبين نحصل على

يمكننا كتابة المعادلة أعلاه مباشرة ولكن نياتي على أخذ حدود التكامل من (0– إلى ∞) هي أن حتى لو اعتبرنا القيم السالبة للحدود فإن النتائج تكون ذات قيم موجبة.

ملاحظة:
نعرف أيضًا أن تحويل لابلاس ينطبق فقط على الدوال السببية.
عند اعتبار (s) يتجه إلى اللانهاية على الجانبين في (3)

وبذلك تم إثبات نظرية القيمة الأولية.

تطبيقات نظرية القيمة الأولية

كما ذكرت سابقًا، الغرض من نظرية القيمة الأولية هو تحديد القيمة الأولية للدالة f (t) إذا كان تحويل لابلاس لها معروفًا
مثال 1 :
أوجد القيمة الأولية للدالة f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
حل:

وفقًا لنظرية القيمة الأولية

القيمة الأولية هي 5.
مثال 2:
أوجد القيمة الأولية للدالة المحولة

حل:

وفقًا لنظرية القيمة الأولية

[عندما s → ∞ تصبح قيم s أقل أهمية بشكل متزايد وبالتالي يتم الحصول على النتيجة ببساطة عن طريق أخذ نسبة المعامل الرئيسي]