Теорема о начальном значении преобразования Лапласа

Теорема начального значения является одним из основных свойств преобразования Лапласа. Она была предложена выдающимся французским математическим физиком Пьером Симоном Маркизом де Лапласом. Он сделал важные вклады в области движения планет, применяя теорию гравитации Ньютона. Его работа по теории вероятностей и статистики считается пионерской и оказала влияние на целое новое поколение математиков. Лаплас является одним из 72 человек, чьи имена высечены на Эйфелевой башне.
Теорема начального значения и теорема конечного значения вместе называются граничными теоремами. Теорема начального значения часто обозначается как IVT. Она позволяет нам найти начальное значение при t = (0+) для заданной преобразованной функции (преобразование Лапласа) без необходимости выполнять трудоемкую работу по нахождению f(t), что в таких случаях является утомительным процессом.

Условия существования теоремы начального значения

1. Функция f(t) и ее производная f'(t) должны быть преобразуемыми с помощью преобразования Лапласа.

2. Если время t стремится к (0+), то функция f(t) должна существовать.

1. Функция f(t) = 0 для t > 0 и не содержит импульсов или особых точек высшего порядка в начале координат.

Формулировка теоремы начального значения Лапласа

Если f(t) и F(s) являются парами преобразования Лапласа. т.е

то теорема начального значения дается следующим образом:

Преобразование Лапласа функции f(t) есть

то преобразование Лапласа ее производной f'(t) есть

Рассмотрим сначала интегральную часть

Подставляя (2) в (1) получаем

После отмены f (0–) на обеих сторонах получаем

Можно сразу записать вышеуказанное уравнение, но моя цель, принимая пределы интегрирования от (0– до ∞), заключается в том, чтобы, как бы мы ни рассматривали отрицательные значения пределов, результаты будут иметь положительные значения.

Примечание:
Мы также знаем, что преобразование Лапласа применимо только для причинных функций.
При рассмотрении (s) стремящегося к бесконечности на обеих сторонах в (3)

Таким образом, теорема начального значения доказана.

Применение теоремы начального значения

Как я уже говорил, цель теоремы начального значения - определить начальное значение функции f(t), если известно ее преобразование Лапласа
Пример 1 :
Найдите начальное значение для функции f(t) = 2 u(t) + 3 cos(t) u(t)
Решение:

По теореме начального значения

Начальное значение равно 5.
Пример 2:
Найдите начальное значение преобразованной функции

Решение:

По теореме начального значения

[при s → ∞ значения s становятся все менее значимыми, поэтому результат можно получить, просто взяв отношение ведущих коэффициентов]