Teorema del valor inicial de la transformada de Laplace

El Teorema del valor inicial es una de las propiedades básicas de la transformada de Laplace. Fue dado por el destacado físico matemático francés Pierre Simon Marquis De Laplace. Realizó contribuciones cruciales en el área del movimiento planetario aplicando la teoría de la Gravitación de Newton. Su trabajo sobre la teoría de probabilidad y estadística se considera pionero e influyó en toda una nueva generación de matemáticos. Laplace es uno de los 72 personas cuyo nombre está grabado en la Torre Eiffel.
Los teoremas del valor inicial y final se conocen juntos como Teoremas Límite. El teorema del valor inicial a menudo se conoce como IVT. Nos permitirá encontrar el valor inicial en el tiempo t = (0+) para una función transformada dada (laplace) sin tener que trabajar más duro para encontrar f(t), lo cual es un proceso tedioso en este caso.

Condiciones para la existencia del teorema del valor inicial

1. La función f(t) y su derivada f'(t) deben ser transformables de Laplace.

2. Si el tiempo t tiende a (0+) entonces la función f(t) debe existir.

1. La función f(t) = 0 para t > 0 y no contiene impulsos o singularidades de orden superior en el origen.

Enunciado del Teorema del Valor Inicial de Laplace

Si f(t) y F(s) son pares de transformadas de Laplace. Es decir

entonces el teorema del valor inicial se da por

La transformada de Laplace de una función f(t) es

entonces la transformada de Laplace de su derivada f’(t) es

Consideremos primero la parte integral

Sustituyendo (2) en (1) obtenemos

Al cancelar f(0–) en ambos lados obtenemos

Podríamos escribir directamente la ecuación anterior, pero mi intención al tomar los límites de integración desde (0– a ∞) es que, sin importar cómo consideremos los valores negativos de los límites, esto se refiere a resultados con valores positivos.

Nota:
También sabemos que la transformada de Laplace es aplicable solo para funciones causales.
Al considerar (s) tiende a infinito en ambos lados en (3)

Por lo tanto, el teorema del valor inicial está demostrado.

Aplicaciones del Teorema del Valor Inicial

Como dije antes, el propósito del teorema del valor inicial es determinar el valor inicial de la función f(t) proporcionada su transformada de Laplace
Ejemplo 1 :
Encuentra el valor inicial para la función f(t) = 2 u(t) + 3 cos(t) u(t)
Sol:

Por el teorema del valor inicial

El valor inicial es 5.
Ejemplo 2:
Encuentra el valor inicial de la función transformada

Sol:

Por el teorema del valor inicial

[al tender s → ∞, los valores de s se vuelven cada vez menos significativos, por lo que el resultado se obtiene simplemente tomando la relación de los coeficientes principales]