Initialvärdesatsen för Laplace-transformen

Initial Value Theorem är en av de grundläggande egenskaperna hos Laplace-transformen. Den gavs av den framstående franske matematiska fysikern Pierre Simon Marquis De Laplace. Han gjorde viktiga bidrag inom området för planetrörelse genom att tillämpa Newtons gravitationsteori. Hans arbete inom sannolikhets- och statistikteori anses vara pionjärt och detta påverkade en hel ny generation av matematiker. Laplace är en av de 72 personer vars namn är graverat på Eiffeltornet. Initial value theorem och Final value theorem kallas tillsammans för Limiting Theorems. Initial value theorem kallas ofta IVT. Det gör det möjligt för oss att hitta den initiala värdet vid tid t = (0+) för en given transformerad funktion (Laplace) utan att behöva arbeta hårdare för att hitta f(t), vilket i så fall är en tråkig process.

Villkor för existensen av Initial value theorem

1. Funktionen f(t) och dess derivata f'(t) bör vara Laplace-transformerbara.

2. Om tiden t närmar sig (0+) bör funktionen f(t) existera.

1. Funktionen f(t) = 0 för t > 0 och innehåller inga impulser eller högre ordningens singulariteter vid origo.

Formulering av Laplaces initialvärdesats

Om f(t) och F(s) är Laplace-transformpar. dvs

då ges initialvärdesatsen av

Laplace-transformen av en funktion f(t) är

då är Laplace-transformen av dess derivata f'(t)

Betrakta integraldelen först

Ersätt (2) i (1) får vi

Genom att stryka f (0–) på båda sidor får vi

Vi kan direkt skriva ovanstående ekvation, men min intention med att ta integrationsgränserna från (0– till ∞) är att även om vi betraktar negativa värden på gränserna, resulterar det i resultat med positiva värden.

Notera:
Laplace-transform är endast tillämplig för kausalitet.
Vid att låta (s) närma sig oändligheten på båda sidor i (3)

Därför är initialvärdesatsen bevisad.

Tillämpningar av initialvärdesatsen

Som jag sa tidigare är syftet med initialvärdesatsen att fastställa det initiala värdet för funktionen f(t) om dess Laplace-transform är given
Exempel 1 :
Hitta det initiala värdet för funktionen f(t) = 2 u(t) + 3 cos(t) u(t)
Lösning:

Enligt initialvärdesatsen

Det initiala värdet är 5.
Exempel 2:
Hitta det initiala värdet av den transformerade funktionen

Lösning:

Enligt initialvärdesatsen

[eftersom s → ∞ blir värdena av s alltmer insignifikanta, så erhålls resultatet genom att enkelt ta kvoten mellan ledande koefficienter]