Теорема про початкове значення перетворення Лапласа
Теорема початкового значення є однією з основних властивостей перетворення Лапласа. Вона була запропонована видатним французьким математиком і фізиком П'єром Симоном Маркі де Лапласом. Він зробив ключові внески у розуміння планетного руху, застосовуючи теорію гравітації Ньютона. Його праці щодо теорії ймовірностей та статистики вважаються провідними, і вплинули на ціле нове покоління математиків. Лаплас є одним із 72 осіб, чиї імена вирізані на Ейфелевій вежі.
Теореми початкового та кінцевого значення разом називаються граничними теоремами. Теорема початкового значення часто позначається як IVT. Вона дозволяє нам знайти початкове значення при часі t = (0+) для заданої перетвореної функції (лаплас) без необхідності важкої роботи з знаходження f(t), що є складним процесом у такому випадку.
Умови існування теореми початкового значення
Функція f(t) та її похідна f'(t) повинні бути перетворювані за Лапласом.
Якщо час t наближається до (0+), то функція f(t) повинна існувати.
Функція f(t) = 0 для t > 0 і не містить імпульсів або сингулярностей вищого порядку на початку.
Формулювання теореми початкового значення Лапласа
Якщо f(t) та F(s) є парою перетворень Лапласа. Тобто
тоді теорема початкового значення визначається як
Перетворення Лапласа функції f(t) є
тоді перетворення Лапласа її похідної f ‘ (t) є
Розглянемо спочатку інтегральну частину
Підставляючи (2) в (1) отримуємо
Скасовуючи f (0–) з обох сторін, отримуємо
Ми можемо прямо записати це рівняння, але моя мета, взявши границі інтегрування від (0– до ∞), полягає в тому, що незалежно від того, як ми розглядаємо від'ємні значення границь, це стосується результатів з додатними значеннями.
Примітка:
Ми також знаємо, що перетворення Лапласа застосовується лише для причинних функцій.
Якщо (s) прямує до нескінченності з обох сторін в (3)
Отже, теорема початкового значення доведена.
Застосування теореми початкового значення
Як я казав раніше, мета теореми початкового значення полягає в визначення початкового значення функції f (t), якщо її перетворення Лапласа відоме
Приклад 1 :
Знайдіть початкове значення для функції f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Розв'язок:
За теоремою початкового значення
Початкове значення становить 5.
Приклад 2:
Знайдіть початкове значення перетвореної функції
Розв'язок:
За теоремою початкового значення
