Teorema do valor inicial da transformada de Laplace

O teorema do valor inicial é unha das propiedades básicas da transformada de Laplace. Foi dado polo destacado físico matemático francés Pierre Simon Marquis De Laplace. Fixo contribucións cruciais na área do movemento planetario aplicando a teoría da gravitación de Newton. O seu traballo sobre a teoría da probabilidade e estatística considerase pioneiro e isto influíu nunha nova xeración de matemáticos. Laplace está entre as 72 persoas que teñen o seu nome gravado na Torre Eiffel.
O teorema do valor inicial e o teorema do valor final coñécense xuntos como Teoremas Limítrofes. O teorema do valor inicial chámase frecuentemente IVT. Permitirá atopar o valor inicial no tempo t = (0+) para unha función transformada dada (laplace) sen ter que traballar máis duro para atopar f(t), que é un proceso tedioso neste caso.

Condicións para a existencia do teorema do valor inicial

1. A función f(t) e a súa derivada f(t) deben ser transformables de Laplace.

2. Se o tempo t se aproxima a (0+) entón a función f(t) debe existir.

1. A función f(t) = 0 para t > 0 e non contén impulsos ou singularidades de orde superior no orixe.

Enunciado do teorema do valor inicial de Laplace

Se f(t) e F(s) son pares de transformadas de Laplace. Isto é

entón o teorema do valor inicial dáse por

A transformada de Laplace dunha función f(t) é

entón a transformada de Laplace da súa derivada f ‘ (t) é

Consideremos primeiro a parte integral

Substituíndo (2) en (1) obtemos

Ao cancelar f (0–) en ambos os lados obtemos

Podemos escribir directamente a ecuación anterior, pero a miña intención ao tomar os límites de integración de (0– a ∞) é que, aínda que consideremos valores negativos dos límites, isto pertence a resultados con valores positivos.

Nota:
También sabiamos que a transformada de Laplace só é aplicable para funcións causais.
Ao considerar (s) tendendo a infinito en ambos os lados en (3)

Por tanto, o teorema do valor inicial está demostrado.

Aplicacións do teorema do valor inicial

Como di antes, o propósito do teorema do valor inicial é determinar o valor inicial da función f (t) proporcionada a súa transformada de Laplace
Exemplo 1 :
Atopa o valor inicial para a función f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Sol:

Polo teorema do valor inicial

O valor inicial dáse por 5.
Exemplo 2:
Atopa o valor inicial da función transformada

Sol:

Polo teorema do valor inicial

[como s → ∞ os valores de s tornanse máis e máis insignificantes, polo que o resultado obtense simplemente tomando a relación dos coeficientes principais]