Initial Value Theorem of Laplace Transform Initielle Værdi Sætning for Laplace-transformen

Initial Value Theorem er en af de grundlæggende egenskaber ved Laplace-transformation. Det blev givet af den fremtrædende franske matematiske fysiker Pierre Simon Marquis De Laplace. Han ydede vigtige bidrag til området med planetbaner ved at anvende Newtons teori om gravitation. Hans arbejde med hensyn til sandsynlighedsteori og statistik anses for pionerende, og dette påvirkede en helt ny generation af matematikere. Laplace er en af de 72 personer, hvis navn er indgraveret på Eiffeltårnet.
Initial value theorem og Final value theorem kaldes sammen Limitteoremer. Initial value theorem kaldes ofte IVT. Det giver os mulighed for at finde den initielle værdi ved t = (0+) for en given transformerede funktion (laplace) uden at vi skal arbejde hårdt for at finde f(t), hvilket er en træls proces i sådan et tilfælde.

Betingelser for eksistensen af Initial value theorem

1. Funktionen f(t) og dens afledede f'(t) skal være Laplace-transformerbare.

2. Hvis tiden t nærmer sig (0+), så skal funktionen f(t) eksistere.

1. Funktionen f(t) = 0 for t > 0 og indeholder ingen impulser eller højere ordens singulariteter ved oprindelsen.

Udtalelse af Laplace Initial Value Theorem

Hvis f(t) og F(s) er Laplace-transformpar. dvs

så er initial value theorem givet ved

Laplace-transformation af en funktion f(t) er

så er Laplace-transformation af dens afledede f ‘ (t)

Overvej først integralet

Ved at indsætte (2) i (1) får vi

Ved at annullere f (0–) på begge sider får vi

Vi kan direkte skrive ovenstående ligning, men min intention med at tage integrationsgrænserne fra (0– til ∞) er, at uanset hvordan vi betragter de negative grænseværdier, så har det positive resultater.

Bemærk:
Laplace-transformation er kun anvendelig for kausale funktioner.
Ved at overveje (s) går mod uendelig på begge sider i (3)

Dermed er initial value theorem beviset.

Anvendelser af Initial Value Theorem

Som jeg sagde tidligere, er formålet med initial value theorem at bestemme den initielle værdi af funktionen f (t), når dens Laplace-transformation er givet
Eksempel 1 :
Find den initielle værdi for funktionen f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Sol:

Ifølge initial value theorem

Den initielle værdi er givet ved 5.
Eksempel 2:
Find den initielle værdi af den transformerede funktion

Sol:

Ifølge initial value theorem

[da s → ∞ bliver værdierne af s mere og mere insignifikante, så resultatet opnås ved simpelthen at tage forholdet mellem ledende koefficienter]