Pangunahing Teorema ng Transformasyon ni Laplace

Ang Teorema ng Initial Value ay isa sa mga pangunahing katangian ng Laplace transform. Ito ay ibinigay ng kilalang Pranses na Matematikal na Pisiko na si Pierre Simon Marquis De Laplace. Siya ay nagbigay ng mahalagang kontribusyon sa larangan ng planetaryong paggalaw sa pamamagitan ng pag-apply ng teorya ni Newton tungkol sa Gravitasyon. Ang kanyang trabaho tungkol sa teorya ng probability at statistics ay itinuturing na pionero at ito ay naimpluwensyahan ang isang bagong henerasyon ng Matematiko. Si Laplace ay isa sa 72 tao na may kanilang pangalan na nakasulat sa Eiffel Tower.
Ang Teorema ng Initial value at Final value ay kasama tinatawag na Limiting Theorems. Ang Teorema ng Initial value ay madalas tinatawag bilang IVT. Ito ay magbibigay-daan sa amin upang makahanap ng initial value sa oras t = (0+) para sa isang ibinigay na transformed function (laplace) nang hindi kailanganin nating magsikap upang makahanap ng f(t) na isang mapagod na proseso sa ganitong kaso.

Mga kondisyon para sa pagkakaroon ng Teorema ng Initial value

1. Ang function f(t) at ang kanyang derivative f(t) ay dapat Laplace transformable.

2. Kung ang oras t lumapit sa (0+) ang function f(t) ay dapat umiral.

1. Ang function f(t) = 0 para sa t > 0 at walang impulses o mas mataas na order singularities sa origin.

Pahayag ng Teorema ng Initial Value ng Laplace

Kung ang f(t) at F(s) ay Laplace transform pairs. i.e

ang Teorema ng Initial value ay ibinibigay ng

Ang Laplace transform ng isang function f(t) ay

kaya ang Laplace transform ng kanyang derivative f ‘ (t) ay

Isaalang-alang ang integral part first

Pag-substitute (2) sa (1) makukuha natin

Sa pag-cancel ng f (0–) sa parehong bahagi makukuha natin

Maaari nating direkta na isulat ang itaas na equation ngunit ang aking layunin sa pag-consider ng limits ng integration mula (0– hanggang ∞) ay na kahit pa tayo ay consider ang negative values ng limits ito ay tumutugon sa resulta na may positive values.

Pansin:
Kami rin alam na ang Laplace transform ay applicable lamang para sa causal functions.
Sa pag-consider (s) lumapit sa infinity sa parehong bahagi sa (3)

Kaya, ang Teorema ng Initial value ay napapatunayan.

Mga Application ng Teorema ng Initial Value

Gayunpaman ang layunin ng Teorema ng Initial value ay upang matukoy ang initial value ng function f (t) na binigay ang kanyang Laplace transform
Halimbawa 1 :
Hanapin ang initial value para sa function f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Sol:

Batay sa Teorema ng Initial value

Ang initial value ay ibinibigay ng 5.
Halimbawa 2:
Hanapin ang initial value ng transformed function

Sol:

Batay sa Teorema ng Initial value

[kung s → ∞ ang mga halaga ng s naging mas kaunti at kaunti kaya ang resulta ay nakuha sa pamamagitan ng simple ratio ng leading co-efficient]