লাপ্লাস ট্রান্সফরমের আদি মান উপপাদ্য
প্রাথমিক মান উপপাদ্য হল লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম এর একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য। এটি প্রখ্যাত ফরাসি গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানী পিয়ের সিমন মারকুইস ডি লাপ্লাস দ্বারা দেওয়া হয়েছিল। তিনি নিউটনের মহাকর্ষ তত্ত্ব প্রয়োগ করে গ্রহের গতির ক্ষেত্রে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অবদান রাখেন। তার সম্ভাবনা ও পরিসংখ্যান তত্ত্বের ক্ষেত্রে কাজ পথপ্রদর্শক হিসেবে বিবেচিত হয় এবং এটি এক নতুন প্রজন্মের গণিতবিদদের প্রভাবিত করে। লাপ্লাস এইফেল টাওয়ারে তাদের নাম খোদাই করা ৭২ জন ব্যক্তির মধ্যে একজন।
প্রাথমিক মান উপপাদ্য এবং চূড়ান্ত মান উপপাদ্য একত্রে সীমাবদ্ধ উপপাদ্য হিসেবে পরিচিত। প্রাথমিক মান উপপাদ্য সাধারণত IVT হিসেবে পরিচিত। এটি আমাদের একটি দেওয়া ট্রান্সফর্মড ফাংশন (লাপ্লাস) এর জন্য t = (0+) সময়ে প্রাথমিক মান খুঁজে পেতে সাহায্য করবে যা f(t) খুঁজে পেতে কঠিন এবং একটি ক্লান্তিকর প্রক্রিয়া হতে পারে।
প্রাথমিক মান উপপাদ্যের অস্তিত্বের শর্তাবলী
ফাংশন f(t) এবং তার অন্তরজ f'(t) লাপ্লাস ট্রান্সফর্মযোগ্য হওয়া উচিত।
যদি সময় t (0+) এর দিকে অগ্রসর হয় তবে ফাংশন f(t) অস্তিত্ব রাখা উচিত।
ফাংশন f(t) = 0 যখন t > 0 এবং মূলে কোন প্রচণ্ড বা উচ্চতর ক্রমের বিচ্ছিন্নতা নেই।
লাপ্লাস প্রাথমিক মান উপপাদ্যের বিবৃতি
যদি f(t) এবং F(s) লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম জোড়া হয়। অর্থাৎ
তবে প্রাথমিক মান উপপাদ্য হল
ফাংশন f(t) এর লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম হল
তবে তার অন্তরজ f ' (t) এর লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম হল
প্রথমে যোগজ অংশটি বিবেচনা করুন
(1) এ (2) প্রতিস্থাপন করে পাই
f (0–) উভয় পক্ষে বাতিল করে পাই
আমরা সরাসরি উপরের সমীকরণটি লিখতে পারি, কিন্তু আমার উদ্দেশ্য হল (0– থেকে ∞) সীমা বিবেচনা করা, যাতে যে কোন ঋণাত্মক সীমা বিবেচনা করলেও ফলাফল ইতিবাচক হয়।
নোট:
আমরা জানি যে লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম শুধুমাত্র কার্যকর ফাংশনের জন্য প্রযোজ্য।
(3) এ (s) এর দুই পক্ষে অসীমের দিকে বিবেচনা করলে
অতএব, প্রাথমিক মান উপপাদ্য প্রমাণিত হয়।
প্রাথমিক মান উপপাদ্যের প্রয়োগ
আমি আগে বলেছিলাম যে প্রাথমিক মান উপপাদ্যের উদ্দেশ্য হল ফাংশন f (t) এর প্রাথমিক মান নির্ধারণ করা যখন তার লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম দেওয়া হয়
উদাহরণ ১:
ফাংশন f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t) এর প্রাথমিক মান খুঁজুন
সমাধান:
প্রাথমিক মান উপপাদ্য অনুসারে
প্রাথমিক মান ৫।
উদাহরণ ২:
ট্রান্সফর্ম ফাংশনের প্রাথমিক মান খুঁজুন
