लाप्लास रूपान्तरको प्रारंभिक मान प्रमेय

आरम्भिक मान प्रमेय लाप्लास रूपान्तरणको एक मूलभूत गुण हो। यसको दान फ्रान्सीसी गणितीय भौतिकविज्ञानी पियरे सिमोन मार्किस डी लाप्लासले दिएका थिए। उनले न्यूटनको गुरुत्वाकर्षणको सिद्धान्त लागि ग्रहगति क्षेत्रमा महत्वपूर्ण योगदान दिएका थिए। उनको संभावना और सांख्यिकीको थ्योरीको काम प्रारम्भिक रूपमा गणितज्ञहरूको नए पीढीको लागि प्रभावशाली रहेको मानिन्छ। लाप्लास एफेल टावरमा अपनाइँ नाम खुदेका ७२ जनामा एक हुन्। आरम्भिक मान प्रमेय र अन्तिम मान प्रमेय दुवै लिमिटिङ प्रमेयहरूको रूपमा जानिन्छन्। आरम्भिक मान प्रमेयलाई आमतौरले IVT भनिन्छ। यो दिइएको रूपान्तरित फलन (लाप्लास)को लागि t = (0+) समयमा आरम्भिक मान पाउन मद्दत गर्छ बिना f(t) पाउन लाग्ने बहुत जटिल प्रक्रियालाई टाल्ने गर्छ।

आरम्भिक मान प्रमेयको अस्तित्वका लागि शर्तहरू

1. फलन f(t) र उसको अवकलज f'(t) लाप्लास रूपान्तरणयोग्य हुनुपर्छ।

2. यदि समय t (0+) लगायत जान्छ भने फलन f(t) अस्तित्वमा रहनुपर्छ।

1. फलन f(t) = 0 यदि t > 0 र मूल बिन्दुमा कोई धक्का वा उच्च विकृति छैन।

लाप्लास आरम्भिक मान प्रमेयको बयान

यदि f(t) र F(s) लाप्लास रूपान्तरण जोडी हुन्। यस्तो छ

बाट आरम्भिक मान प्रमेय दिइएको छ

फलन f(t)को लाप्लास रूपान्तरण छ

बाट उसको अवकलज f ' (t)को लाप्लास रूपान्तरण छ

पहिलो इन्टिग्रल भागलाई लिनुहोस्

(2) लाई (1) मा राख्दा

दुवै फलनहरूमा f (0–) राख्दा

हामी तुरुन्तै यो समीकरण लेख्न सक्छौं तर म अन्तिम समीकरण लेख्नका लागि लिमिट लिनुहुन्छु (0– to ∞) त्यसको लागि यदि हामी नकारात्मक मान लिन्छौं भने त्यो सकारात्मक मान दिन्छ।

नोट:
हामी जान्छौं कि लाप्लास रूपान्तरण केवल एकाग्र फलनहरूमा लागू हुन्छ।
(s) दुवै फलनहरूमा अनन्तको लागि (3) मा

त्यसैले, आरम्भिक मान प्रमेय सिद्ध गरिएको छ।

आरम्भिक मान प्रमेयको अनुप्रयोगहरू

जस्तै म पहिले भन्यो आरम्भिक मान प्रमेयको उद्देश्य फलन f (t)को आरम्भिक मान निर्धारण गर्न छ यदि उसको लाप्लास रूपान्तरण दिइएको छ
उदाहरण १ :
फलन f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)को आरम्भिक मान पाउनुहोस्
हल:

आरम्भिक मान प्रमेय द्वारा

आरम्भिक मान ५ दिइएको छ।
उदाहरण २:
रूपान्तरित फलनको आरम्भिक मान पाउनुहोस्

हल: