משפט הערך ההתחלתי של התמרת לפלס
משפט הערך ההתחלתי הוא אחת מהמאפיינים הבסיסיים של טרנספורמת לפלס. הוא ניתן על ידי הפיזיקאי המתמטי הצרפתי המפורסם פייר סימון מרקיז דה לפלס. הוא תרם תרומות חשובות בתחום תנועת הכוכבים על ידי יישום תורת המשיכה של ניוטון. עבודתו בתחום תורת ההסתברות והסטטיסטיקה נחשבת כפIONG ומשפיעה על דור חדש של מתמטיקאים. לפלס הוא אחד מ-72 האנשים ששמם חקוק במצפה אייפל.
משפט הערך ההתחלתי ומשפט הערך הסופי מכונים יחד כמשפטים גבולתיים. המשפט של הערך ההתחלתי לעתים קרובות מכונה כ-IVT. הוא יאפשר לנו למצוא את הערך ההתחלתי בזמן t = (0+) עבור פונקציה ממומשת נתונה (לפלס) מבלי להזדקק לעבוד קשה יותר כדי למצוא f(t), מה שהוא תהליך מסורבל במקרה כזה.
תנאים לקיום משפט הערך ההתחלתי
הפונקציה f(t) והנגזרת שלה f'(t) צריכות להיות ממומשות באמצעות טרנספורמת לפלס.
אם זמן t מתקרב ל-(0+) אז הפונקציה f(t) צריכה להתקיים.
הפונקציה f(t) = 0 עבור t > 0 ואינה כוללת תנודות או סינגולריות מסדר גבוה יותר בנקודת המקור.
משפט הערך ההתחלתי של טרנספורמת לפלס
אם f(t) ו-F(s) הן זוגות טרנספורמה של לפלס. כלומר
אז משפט הערך ההתחלתי נתון על ידי
טרנספורמת לפלס של הפונקציה f(t) היא
אז טרנספורמת לפלס של הנגזרת שלה f'(t) היא
נבדוק קודם את החלק האינטגרלי
בכדי להכניס (2) לתוך (1) נקבל
לאחר ביטול f (0–) משני הצדדים נקבל
ניתן לכתוב ישירות את המשוואה למעלה, אך כוונתי בהגדרת גבולות האינטגרציה מ-(0– עד ∞) היא כי גם אם ניקח ערכים שליליים של גבולות זה לא ישנה את התוצאות המתקבלות בערכים חיוביים.
הערה:
אנו יודעים גם שטרנספורמת לפלס היא מתאימה רק לפונקציות קוזאליות.
בהינתן (s) שואף לאינסוף משני הצדדים ב-(3)
לכן, משפט הערך ההתחלתי נוכיח.
יישומים של משפט הערך ההתחלתי
כפי שאמרתי קודם, מטרת משפט הערך ההתחלתי היא לקבוע את הערך ההתחלתי של הפונקציה f(t) בהינתן טרנספורמת לפלס שלה
דוגמה 1 :
מצא את הערך ההתחלתי עבור הפונקציה f(t) = 2u(t) + 3cos(t)u(t)
פתרון:
על פי משפט הערך ההתחלתי
הערך ההתחלתי הוא 5.
דוגמה 2:
מצא את הערך ההתחלתי של הפונקציה הממומשת
פתרון:
על פי משפט הערך ההתחלתי
[כאשר s שואף לאינסוף הערכים של s נעשים יותר ויותר זניחים ולכן התוצאה מתקבלת פשוט על ידי לקחת את היחס בין מקדמי החזית]
