Laplace Transform دا ابتدائی قدر کلیسیم

آغازی قدرت کا مسئلہ ایک بنیادی خصوصیت ہے لپلاس تبدیل کی۔ اسے مشہور فرانسیسی ریاضی دان پیر سائمن مارکیز ڈی لپلاس نے دیا۔ انہوں نے نیوٹن کی جاذبیت کے نظریے کو سیاروں کی حرکت کے شعبے میں لاگو کرتے ہوئے بہت اہم کام کیا۔ ان کا نظریہ احتمال اور اعداد و شمار کے متعلق کام پیش رو کہلاتا ہے اور یہ ایک نئی نسل کے ریاضی دانوں پر اثر ڈالتا ہے۔ لپلاس وہ 72 لوگوں میں سے ایک ہیں جن کے نام ایفل ٹاور پر کندہ کیے گئے ہیں۔ آغازی قدر کا مسئلہ اور اختتامی قدر کا مسئلہ محدود مسائل کہلاتے ہیں۔ آغازی قدر کا مسئلہ عام طور پر IVT کہلاتا ہے۔ یہ ہمیں کسی دی گئی تبدیل شدہ فنکشن (لپلاس) کی آغازی قدر t = (0+) پر تلاش کرنے کی صلاحیت دے گا بغیر یہ کہ f(t) تلاش کرنے کے لیے زیادہ کوشش کرنے کی ضرورت ہو جو ایسا مسئلہ میں ملال کا باعث ہوتا ہے۔

آغازی قدر کے مسئلہ کے وجود کے لیے شرائط

1. فنشن f(t) اور اس کا مشتق f(t) لپلاس تبدیل ہونے کے قابل ہونا چاہئے۔

2. اگر وقت t (0+) کے قریب آتا ہے تو فنشن f(t) موجود ہونا چاہئے۔

1. فنشن f(t) = 0 for t > 0 اور مبدا پر کوئی پالس یا بلند درجہ کی غیر معمولی حالتیں نہیں ہوتیں۔

لپلاس آغازی قدر کا مسئلہ

اگر f(t) اور F(s) لپلاس تبدیل جوڑے ہیں۔ یعنی

تو آغازی قدر کا مسئلہ یہ ہے

فنشن f(t) کا لپلاس تبدیل ہے

تو اس کے مشتق f ‘ (t) کا لپلاس تبدیل ہے

پہلے انتگرل کا حصہ دیکھیں

(2) کو (1) میں تعویض کرتے ہوئے ہم کو ملتا ہے

دونوں طرف f (0–) کو کاٹ دیتے ہوئے ہم کو ملتا ہے

ہم مستقیماً اوپر والی مساوات لکھ سکتے ہیں لیکن میں تکامل کے حدود (0– to ∞) لینے کا مقصد یہ ہے کہ جس طرح بھی ہم منفی حدود کو لیتے ہیں، نتائج مثبت قیمتیں ہی ہوتی ہیں۔

نوٹ:
ہم جانتے ہیں کہ لپلاس تبدیل صرف علیحدہ فنشنوں کے لیے لاگو ہوتا ہے۔
(s) دونوں طرف کو بے حد کی طرف لے کر (3) میں

اس لیے، آغازی قدر کا مسئلہ ثابت ہوا ہے۔

آغازی قدر کے مسئلہ کے استعمالات

جیسا کہ میں پہلے کہا تھا کہ آغازی قدر کا مسئلہ کا مقصد فنشن f (t) کی آغازی قدر تلاش کرنا ہے جس کا لپلاس تبدیل دیا گیا ہے
مثال 1 :
فنشن f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t) کی آغازی قدر تلاش کریں۔
حل:

آغازی قدر کے مسئلہ کے ذریعے

آغازی قدر 5 ہے۔
مثال 2:
ترانسفرم شدہ فنشن کی آغازی قدر تلاش کریں۔

حل:

آغازی قدر کے مسئلہ کے ذریعے