Laplace Transform ನ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ

ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಲಾಪ್ಲೆಸ್ ರೂಪಾಂತರ ನ ಒಂದು ಮೂಲ ಗುಣಗಳು. ಇದನ್ನು ಪ್ರಖ್ಯಾತ ಪ್ರಾಂಶಿಕ ಗಣಿತ ಭೌತಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಪಿಯೆರ್ ಸೈಮನ್ ಮಾರ್ಕ್ವಿಸ್ ಡೆ ಲಾಪ್ಲೆಸ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಗುರುತ್ವ ಶಕ್ತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ಗ್ರಹ ಚಲನೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಮೂಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಅವರ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೆಲಸವು ಮುಂದಿನ ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಗಣಿತಜ್ಞರನ್ನು ಪ್ರಭಾವಿಸಿದೆ. ಲಾಪ್ಲೆಸ್ ಎಂಬುದು ಈಫೆಲ್ ಟಾವರ್ ಮೇಲೆ ತಮ್ಮ ಹೆಸರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ 72 ಜನಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬನಾಗಿದೆ.
ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅಧಿಕ ಮಾಡಿ IVT ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನಮಗೆ ನೀಡಿದ ರೂಪಾಂತರಿತ ಫಲನ (ಲಾಪ್ಲೆಸ್) ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು t = (0+) ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. f(t) ನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಒಂದು ತೂಕದ ಮುಂದಿನ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಷರತ್ತುಗಳು

1. ಫಲನ f(t) ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಕಲಜ f'(t) ಗಳು ಲಾಪ್ಲೆಸ್ ರೂಪಾಂತರಿಸಬಹುದಾಗಿರಬೇಕು.

2. ಸಮಯ t (0+) ಗೆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಸಾಗಿದಾಗ ಫಲನ f(t) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು.

1. f(t) = 0 ಮತ್ತು t > 0 ಮತ್ತು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪ್ರವೇಶ ಅಥವಾ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಅನಂತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಫಲನ f(t).

ಲಾಪ್ಲೆಸ್ ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿವರಣೆ

ಫಲನಗಳು f(t) ಮತ್ತು F(s) ಲಾಪ್ಲೆಸ್ ರೂಪಾಂತರ ಜೋಡಿಗಳು. ಅದೆಂದರೆ

ನಂತರ ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು

ಫಲನ f(t) ನ ಲಾಪ್ಲೆಸ್ ರೂಪಾಂತರ

ನಂತರ ಅದರ ವಿಕಲಜ f'(t) ನ ಲಾಪ್ಲೆಸ್ ರೂಪಾಂತರ

ಪ್ರಥಮ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಸಂಕಲನ ಭಾಗವನ್ನು

(2) ನ್ನು (1) ಗೆ ಬದಲಿಸಿದಾಗ ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ

ಎರಡೂ ಪಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ f (0–) ನ್ನು ರದ್ದಿಸಿದಾಗ ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ

ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ನಾನು (0– ಮತ್ತು ∞) ಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇನೆ, ಯಾವುದೇ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೂ ಸಾಧನೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ನೋಟ:
ನಾವು ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಲಾಪ್ಲೆಸ್ ರೂಪಾಂತರವು ಕೇವಲ ಕಾರಣ ಫಲನಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
(3) ನಲ್ಲಿ (s) ಗೆ ∞ ಗೆ ಸಮನಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯಗಳು

ನಾನು ಮುಂಚೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಉದ್ದೇಶ ಲಾಪ್ಲೆಸ್ ರೂಪಾಂತರ ನೀಡಿದಾಗ f (t) ಫಲನದ ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು
ಉದಾಹರಣೆ 1 :
f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t) ಫಲನಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
ಪರಿಹಾರ:

ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ

ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯ 5 ಆಗ