Αρχή της Αρχικής Τιμής της Μετασχηματισμού Laplace

Το Θεώρημα της Αρχικής Τιμής είναι μία από τις βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace. Δόθηκε από τον πρωτεύοντα Γάλλο Μαθηματικό Φυσικό Pierre Simon Marquis De Laplace. Έκανε σημαντικές συνεισφορές στον τομέα της κίνησης των πλανητών εφαρμόζοντας τη θεωρία της Βαρύτητας του Newton. Το έργο του σχετικά με τη θεωρία της πιθανότητας και της στατιστικής θεωρείται πρωτοπόρο και επηρέασε μια νέα γενιά μαθηματικών. Ο Laplace είναι ένας από τους 72 ανθρώπους που έχουν το όνομά τους χαραγμένο στην Πύραμιδα Eiffel.
Το θεώρημα της αρχικής τιμής και το θεώρημα της τελικής τιμής ονομάζονται μαζί θεωρήματα ορίων. Το θεώρημα της αρχικής τιμής συχνά αναφέρεται ως IVT. Θα μας επιτρέψει να βρούμε την αρχική τιμή στο χρόνο t = (0+) για μια δοθείσα μετατραπείσα συνάρτηση (Laplace) χωρίς να μας αναγκάζει να εργαστούμε περισσότερο για να βρούμε τη f(t), η οποία είναι ένας πολύπλοκος διαδικαστικός τρόπος σε τέτοιες περιπτώσεις.

Προϋποθέσεις για την ύπαρξη του θεωρήματος της αρχικής τιμής

1. Η συνάρτηση f(t) και η παράγωγός της f'(t) πρέπει να είναι Laplace transformable.

2. Αν ο χρόνος t πλησιάζει στο (0+) τότε η συνάρτηση f(t) πρέπει να υπάρχει.

1. Η συνάρτηση f(t) = 0 για t > 0 και δεν περιέχει διακυμάνσεις ή υψηλότερες τάξεις ανωμαλίες στην προέλευση.

Δήλωση του Θεωρήματος της Αρχικής Τιμής Laplace

Εάν f(t) και F(s) είναι ζευγάρι Laplace transform. δηλαδή

τότε το θεώρημα της αρχικής τιμής δίνεται από

Ο μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης f(t) είναι

τότε ο μετασχηματισμός Laplace της παραγώγου f ‘ (t) είναι

Σκεφτείτε πρώτα το ολοκληρωτικό μέρος

Αντικαθιστώντας (2) στο (1) παίρνουμε

Ακύρωντας τη f (0–) σε και τα δύο πλευρά παίρνουμε

Μπορούμε να γράψουμε άμεσα την παραπάνω εξίσωση, αλλά η πρόθεσή μου να πάρω τα όρια ολοκλήρωσης από (0– σε ∞) είναι ότι όποιες και αν είναι οι αρνητικές τιμές των ορίων, αυτές παραμένουν με θετικές τιμές.

Σημείωση:
Επίσης ξέρουμε ότι ο μετασχηματισμός Laplace είναι εφαρμόσιμος μόνο για causal functions.
Σκεφτείτε (s) που τείνει στο άπειρο σε και τα δύο πλευρά στο (3)

Επομένως, το θεώρημα της αρχικής τιμής αποδείχθηκε.

Εφαρμογές του Θεωρήματος της Αρχικής Τιμής

Όπως είπα προηγουμένως, το σκοπός του θεωρήματος της αρχικής τιμής είναι να καθορίσει την αρχική τιμή της συνάρτησης f (t) αν δίνεται ο μετασχηματισμός Laplace της
Παράδειγμα 1 :
Βρείτε την αρχική τιμή για τη συνάρτηση f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Λύση:

Με το θεώρημα της αρχικής τιμής

Η αρχική τιμή δίνεται από 5.
Παράδειγμα 2:
Βρείτε την αρχική τιμή της μετατραπείσας συνάρτησης