Théorème de la valeur initiale de la transformée de Laplace
Le théorème de la valeur initiale est l'une des propriétés de base de la transformée de Laplace. Il a été donné par le célèbre physicien mathématicien français Pierre Simon Marquis De Laplace. Il a apporté des contributions cruciales dans le domaine du mouvement planétaire en appliquant la théorie de la gravitation de Newton. Son travail sur la théorie des probabilités et des statistiques est considéré comme pionnier et a influencé toute une nouvelle génération de mathématiciens. Laplace fait partie des 72 personnes dont le nom est gravé sur la Tour Eiffel.
Les théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale sont ensemble appelés théorèmes limites. Le théorème de la valeur initiale est souvent désigné par IVT. Il nous permet de trouver la valeur initiale au temps t = (0+) pour une fonction transformée donnée (Laplace) sans avoir à travailler plus dur pour trouver f(t), ce qui est un processus fastidieux dans ce cas.
Conditions d'existence du théorème de la valeur initiale
La fonction f(t) et sa dérivée f'(t) doivent être transformables en Laplace.
Si le temps t tend vers (0+), alors la fonction f(t) doit exister.
La fonction f(t) = 0 pour t > 0 et ne contient pas d'impulsions ou de singularités d'ordre supérieur à l'origine.
Énoncé du théorème de la valeur initiale de Laplace
Si f(t) et F(s) sont des paires de transformées de Laplace. c'est-à-dire
alors le théorème de la valeur initiale est donné par
La transformée de Laplace d'une fonction f(t) est
alors la transformée de Laplace de sa dérivée f'(t) est
Considérons d'abord la partie intégrale
En substituant (2) dans (1) on obtient
En annulant f (0–) des deux côtés, on obtient
On peut écrire directement l'équation ci-dessus, mais mon intention en prenant les limites d'intégration de (0– à ∞) est que, même si nous considérons les valeurs négatives des limites, cela concerne les résultats ayant des valeurs positives.
Note :
Nous savons également que la transformée de Laplace n'est applicable que pour les fonctions causales.
En considérant (s) tendant vers l'infini des deux côtés dans (3)
Ainsi, le théorème de la valeur initiale est prouvé.
Applications du théorème de la valeur initiale
Comme je l'ai dit précédemment, le but du théorème de la valeur initiale est de déterminer la valeur initiale de la fonction f(t) lorsque sa transformée de Laplace est donnée
Exemple 1 :
Trouver la valeur initiale pour la fonction f(t) = 2 u(t) + 3 cos(t) u(t)
Sol :
Selon le théorème de la valeur initiale
La valeur initiale est donnée par 5.
Exemple 2 :
Trouver la valeur initiale de la fonction transformée
Sol:
Selon le théorème de la valeur initiale
[lorsque s → ∞, les valeurs de s deviennent de moins en moins significatives, donc le résultat est obtenu en prenant simplement le rapport des coefficients dominants]
