Teorema del valor inicial de la transformada de Laplace

El Teorema del valor inicial és una de les propietats bàsiques de la transformada de Laplace. Va ser donat pel destacat físic matemàtic francès Pierre Simon Marquis De Laplace. Va fer contribucions crucials en l'àrea del moviment planetari aplicant la teoria de la gravitació de Newton. El seu treball sobre la teoria de la probabilitat i l'estadística es considera pioner i va influir en una nova generació de matemàtics. Laplace és un dels 72 persones que tenen el seu nom gravat a la Torre Eiffel.
El teorema del valor inicial i el teorema del valor final són coneguts col·lectivament com a teoremes límitants. El teorema del valor inicial sovint es coneix com IVT. Ens permetrà trobar el valor inicial en el temps t = (0+) per a una funció transformada donada (Laplace) sense necessitat de treballar més per trobar f(t), que és un procés tedios en aquest cas.

Condicions per a l'existència del teorema del valor inicial

1. La funció f(t) i la seva derivada f'(t) haurien de ser transformables per Laplace.

2. Si el temps t s'acosta a (0+) llavors la funció f(t) hauria d'existir.

1. La funció f(t) = 0 per t > 0 i no conté impulsos ni singularitats d'ordre superior a l'origen.

Enunciat del Teorema del valor inicial de Laplace

Si f(t) i F(s) són parells de transformada de Laplace. És a dir

llavors el teorema del valor inicial es dóna per

La transformada de Laplace d'una funció f(t) és

llavors la transformada de Laplace de la seva derivada f ‘ (t) és

Considerem la part integral primer

Substituint (2) en (1) obtenim

Cancel·lant f (0–) en ambdós costats obtenim

Podríem escriure directament l'equació anterior, però el meu objectiu en prendre els límits d'integració de (0– a ∞) és que, encara que considerem valors negatius dels límits, això afecta els resultats amb valors positius.

Nota:
També sabem que la transformada de Laplace només és aplicable a funcions causals.
Considerant (s) tendint a infinit en ambdós costats en (3)

Per tant, el teorema del valor inicial està demostrat.

Aplicacions del Teorema del valor inicial

Com he dit abans, l'objectiu del teorema del valor inicial és determinar el valor inicial de la funció f (t) si se'n dóna la transformada de Laplace
Exemple 1 :
Troba el valor inicial per a la funció f (t) = 2 u (t) + 3 cos t u (t)
Sol:

Pel teorema del valor inicial

El valor inicial és 5.
Exemple 2:
Troba el valor inicial de la funció transformada

Sol:

Pel teorema del valor inicial

[quan s → ∞ els valors de s esdevenen cada vegada més insignificants, per tant, el resultat s'obté simplement prenent la raó dels coeficients principals]