Upprunagildissetning Laplace-ummyndunar
Fyrirgöngugildisskilyrði er eitt af grunnarstökum eiginleikum Laplace-transformsins. Það var gefið af framúrskarandi franska stærðfræðingnum og eðlisfræðingnum Pierre Simon Marquis De Laplace. Hann gerði mikilvæga frekyst á sviði hreyfingar pláneta með því að beita Newtons teori um tyngdaraðferð. Hans virkis um líkindafræði og tölfræði er töld sem upphaflegt og hefur áhrif á nýtt kyn stærðfræðinga. Laplace er einn af 72 manns sem hafa sitt nafn skriðað á Eiffel-torninu.
Fyrirgöngugildisskilyrði og lokagildisskilyrði eru saman kölluð takmarkaskilyrði. Fyrirgöngugildisskilyrði er oft nefnt IVT. Það mun okkur leyfa að finna fyrirgöngugildið við tíma t = (0+) fyrir gefinn transformaða fall (Laplace) án þess að við verðum að vinna mikið til að finna f(t), sem er erfitt verk í slíku tilfelli.
Skilyrði fyrir tilvist fyrirgöngugildisskilyrðis
Fallið f(t) og aðleiðan f(t) ætti að vera Laplace-transformable.
Ef tíminn t nálgast (0+) þá ætti fallið f(t) að vera til staðar.
Fallið f(t) = 0 fyrir t > 0 og inniheldur engar impulsa eða hærri stigs singularities í upprunini.
Setning um fyrirgöngugildisskilyrði Laplace-transformsins
Ef f(t) og F(s) eru Laplace-transform-par. dvs
þá er fyrirgöngugildisskilyrði gefið af
Laplace-transform af falli f(t) er
þá er Laplace-transform af aðleiðun f ‘ (t) er
Skoðum fyrst heiltölugildið
Með setningu (2) í (1) fáum við
Eftir að hafa eytt f (0–) á báðum hliðum fáum við
Við getum beint skrifað ofangreindu jöfnuna en minnið mitt á að taka markmæli heildunar frá (0– til ∞) er að þó við reiknum með neikvæðum gildum markmælanna þá tengjast niðurstöðurnar að raunverulegu gildum.
Ath:
Laplace-transform er aðeins gilt fyrir causal föll.
Ef við tækum (s) til óendanlegs á báðum hliðum í (3)
Þannig er fyrirgöngugildisskilyrði sannað.
Notkun fyrirgöngugildisskilyrðis
Sem ég sagði áður, er tilgangur fyrirgöngugildisskilyrðis að ákvarða fyrirgöngugildi fallsins f (t) ef Laplace-transform hans er gefinn
Dæmi 1 :
Finndu fyrirgöngugildið fyrir fallið f (t) = 2 u (t) + 3 cost u (t)
Lausn:
Eftir fyrirgöngugildisskilyrði
Fyrirgöngugildið er gefið af 5.
Dæmi 2:
Finndu fyrirgöngugildið fyrir transformaða fallið
Lausn:
Eftir fyrirgöngugildisskilyrði
